📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 26 صفحة 113 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 1 من صفحة 122 في الرياضيات، وهو تمرين رائع في الهندسة. لا تقلق أبداً، سأكون بجانبك خطوة بخطوة حتى تفهم كل شيء بوضوح تام. ثق بقدراتك، أنت قادر على التميز!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- كيف تثبت أن مثلثاً قائم الزاوية باستخدام العكسية لخاصية فيثاغورس.
- كيف تحسب ظل زاوية في مثلث قائم الزاوية.
- كيف تطبق مفاهيم الهندسة في حل المسائل.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
في هذا التمرين، سنعمل على مثلث اسمه JKL. الجزء الأول سيطلب منا أن نثبت أن هذا المثلث قائم الزاوية في النقطة J. أما الجزء الثاني، فسيتطلب منا حساب ظل زاويتين فيه، وهما الزاوية K والزاوية L. تخيل أنك مهندس تبني جسراً، تحتاج للتأكد من أن كل زاوية في مكانها الصحيح!
📝 المعطيات التي لدينا:
لدينا الأطوال التالية لأضلاع المثلث JKL:
- طول الضلع KL يساوي 13 سم.
- طول الضلع JL يساوي 10.4 سم.
- طول الضلع JK يساوي 7.8 سم.
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: إثبات أن المثلث JKL قائم الزاوية في J
أولاً، سنحسب مربع كل ضلع من أضلاع المثلث:
JL² = 10.4² = 108.16
JK² = 7.8² = 60.84
الآن، سنجمع مربعي الضلعين الأصغر (JL و JK) لنرى هل يساويان مربع الضلع الأطول (KL).
ماذا لاحظنا يا بطل؟ لاحظ أن مجموع مربعي الضلعين JL و JK يساوي تماماً مربع الضلع KL!
بما أن هذه العلاقة محققة، فهذا يعني، حسب العكسية لخاصية فيثاغورس، أن المثلث JKL قائم الزاوية في الرأس J (الرأس المقابل للضلع الأطول KL). ممتاز!
الخطوة ²: حساب ظل الزاوية K (tan K)
تذكر يا صديقي، أن ظل الزاوية في مثلث قائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسوماً على طول الضلع المجاور لها.
بالنسبة للزاوية K في مثلثنا JKL القائم في J:
- الضلع المقابل للزاوية K هو JL وطوله 10.4 سم.
- الضلع المجاور للزاوية K هو JK وطوله 7.8 سم.
لنحسب الآن tan K:
لتبسيط الكسر، يمكننا ضرب البسط والمقام في 10 للتخلص من الفواصل:
يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على قاسم مشترك، مثل 26:
ممتاز! لقد حصلنا على قيمة tan K.
الخطوة ³: حساب ظل الزاوية L (tan L)
بنفس الطريقة، لنحسب ظل الزاوية L:
- الضلع المقابل للزاوية L هو JK وطوله 7.8 سم.
- الضلع المجاور للزاوية L هو JL وطوله 10.4 سم.
الآن، نحسب tan L:
نتخلص من الفواصل بضرب البسط والمقام في 10:
نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك 26:
إذا أردنا حساب القيمة العشرية، فإن 34 = 0.75. رائعة!
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
- المثلث JKL قائم الزاوية في J.
- tan K = 43
- tan L = 34 (أو 0.75)
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا العكسية لخاصية فيثاغورس لأنها الأداة المثالية للتحقق مما إذا كان المثلث قائماً أم لا، عندما تكون لدينا أطوال أضلاعه. أما حساب الظل، فهو تطبيق مباشر لتعريفات الدوال المثلثية (الظل، الجيب، جيب التمام) في المثلث القائم الزاوية، وهي مفاهيم أساسية في الهندسة.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين الضلع المقابل والمجاور: تأكد دائماً من تحديد الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها بشكل صحيح قبل تطبيق قانون الظل.
- أخطاء في حساب المربعات أو الجذور: كن دقيقاً عند إجراء العمليات الحسابية، خاصة مع الأرقام العشرية.
- عدم تبسيط الكسور: غالباً ما يُفضل تقديم الإجابات في أبسط صورة ممكنة، لذا لا تنسَ تبسيط الكسور.
💎 نصائح ذهبية لك:
- ارسم دائماً: رسم المثلث وتسمية رؤوسه وأضلاعه بوضوح يساعدك كثيراً في تحديد الأضلاع المقابلة والمجاورة وتجنب الأخطاء.
- راجع قوانين فيثاغورس: تأكد من حفظك لخاصية فيثاغورس وعكسيتها جيداً، فهي مفتاح حل الكثير من المسائل.
- تدرب على الكسور العشرية: إتقان التحويل بين الكسور العادية والكسور العشرية وتبسيطها سيجعل حلولك أسرع وأدق.
🎮 جرب بنفسك!
إذا كان لدينا مثلث XYZ قائم الزاوية في Y، وطول XY = 5 سم وطول YZ = 12 سم. أثبت أن المثلث قائم الزاوية (باستخدام العكسية لخاصية فيثاغورس) واحسب tan X.
🔍 اضغط لرؤية الحل
نحسب مربع الأضلاع:
XZ² (الوتر) = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. إذن XZ = √169 = 13 سم.
XY² = 5² = 25
YZ² = 12² = 144
بما أن XY² + YZ² = 25 + 144 = 169 = XZ²، فإن المثلث XYZ قائم الزاوية في Y.
الخطوة الثانية: حساب tan X
الضلع المقابل للزاوية X هو YZ وطوله 12 سم.
الضلع المجاور للزاوية X هو XY وطوله 5 سم.
tan X = = 125 = 2.4
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
ما الفرق بين خاصية فيثاغورس وعكسيتها؟
خاصية فيثاغورس تقول: إذا كان المثلث قائماً الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. أما عكسية خاصية فيثاغورس، فتقول: إذا كان في مثلث ما، مربع طول أحد الأضلاع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل للضلع الأطول.
هل قيمة الظل دائماً موجبة؟
نعم، في المثلثات القائمة الزاوية ضمن سياق مسائل الهندسة، تكون أطوال الأضلاع موجبة، وبالتالي فإن نسبة طولي ضلعين ستكون موجبة دائماً. هذا يعني أن ظل الزوايا الحادة (أقل من 90 درجة) يكون دائماً موجباً.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 1 ص 122 رياضيات 4 متوسط