حل تمرين 11 صفحة 87 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم العلاقة بين التمثيل البياني للدالة وقيمتها عند نقطة معينة.
• تحديد التمثيل البياني المناسب لكل دالة خطية بناءً على القيمة الابتدائية.
• تحليل الدوال الخطية من خلال شكلها العام ومعاملاتها.
• تطبيق مفهوم التقاطع مع محور التراتيب (f(0)) في تفسير الرسوم البيانية.
• ربط العمليات الحسابية البسيطة بالتمثيلات الهندسية للدوال.

أهلاً بك يا بطل الرياضيات في حل تمرين 11 صفحة 87 من كتاب الرياضيات للسنة الرابعة متوسط. هذا التمرين يطلب منا ربط الدوال الخطية بتمثيلاتها البيانية المناسبة، وهو تمرين ممتاز لتعزيز فهمك للعلاقة بين الجبر والهندسة في الدوال. هيا بنا نحل هذه المسألة بخطوات واضحة ومنظمة!

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتكون هذا التمرين من جزء رسومي وجزء نصي. الجزء الرسومي يعرض لنا ثلاثة تمثيلات بيانية لخطوط مستقيمة، مرقمة كـ (d1) و (d2) و (d3). كل خط مستقيم يقطع محور التراتيب (y-axis) عند نقطة مختلفة. الجزء النصي يقدم لنا ثلاث دوال خطية معطاة بصيغتها التحليلية (الصيغة التي تتضمن المتغير x). المطلوب هو إرفاق كل تمثيل بياني بالدالة الخطية التي يمثلها، وذلك بالاعتماد على خصائص كل منهما.

📝 معطيات المسألة

المعطيات تتضمن: 1. ثلاثة خطوط مستقيمة مرسومة على معلم متعامد ومتجانس، وكل خط يحمل تسمية (d1) أو (d2) أو (d3). 2. ثلاث دوال خطية معطاة بصيغتها التحليلية: * الدالة (ج): f(x) = -2 + 2 * الدالة (أ): f(x) = x + 1 * الدالة (ب): f(x) = 2/3x - 1 المطلوب هو مطابقة كل دالة مع تمثيلها البياني.

💡 معلومة مهمة: التمثيل البياني للدالة الخطية f(x) = ax + b هو مستقيم. القيمة b تمثل الارتفاع الذي يقطع فيه المستقيم محور التراتيب (y-axis)، أي قيمة f(0). هذه القيمة هي مفتاح الحل في هذا التمرين، حيث يمكننا بسهولة تحديد قيمة f(0) من الرسم البياني لكل خط مستقيم.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: حساب قيمة f(0) لكل دالة

أول خطوة هي حساب قيمة f(0) لكل دالة من الدوال الثلاث المعطاة. هذا يعني أننا سنعوض بـ x=0 في كل صيغة دالة. هذه القيمة تمثل نقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب.

الدالة (ج): f(0) = -0/2 + 2 = 0 + 2 = 2. إذن، المستقيم يقطع محور التراتيب عند القيمة 2.
الدالة (أ): f(0) = 0 + 1 = 1. إذن، المستقيم يقطع محور التراتيب عند القيمة 1.
الدالة (ب): f(0) = 2/3(0) - 1 = 0 - 1 = -1. إذن، المستقيم يقطع محور التراتيب عند القيمة -1.

المرحلة ²: قراءة نقطة التقاطع مع محور التراتيب من الرسوم البيانية

الآن، سننظر إلى التمثيل البياني لكل خط مستقيم (d1, d2, d3) ونحدد القيمة التي يقطع عندها كل خط محور التراتيب (y-axis).

التمثيل البياني (d1): يقطع محور التراتيب عند القيمة 2.
التمثيل البياني (d2): يقطع محور التراتيب عند القيمة 1.
التمثيل البياني (d3): يقطع محور التراتيب عند القيمة -1.

المرحلة ³: مطابقة الدوال مع تمثيلاتها البيانية

بعد حساب قيم f(0) لكل دالة وقراءة نقاط التقاطع من الرسوم البيانية، نقوم بالمطابقة. كل دالة تقابل الخط المستقيم الذي يقطع محور التراتيب عند نفس القيمة f(0).

- الدالة (ج) (f(0)=2) تطابق التمثيل البياني (d1) الذي يقطع محور التراتيب عند 2.
- الدالة (أ) (f(0)=1) تطابق التمثيل البياني (d2) الذي يقطع محور التراتيب عند 1.
- الدالة (ب) (f(0)=-1) تطابق التمثيل البياني (d3) الذي يقطع محور التراتيب عند -1.

✅ النتائج النهائية:

الدالة (ج): f(x) = -2 + 2 تمثلها البيان (d1).

الدالة (أ): f(x) = x + 1 تمثلها البيان (d2).

الدالة (ب): f(x) = 2/3x - 1 تمثلها البيان (d3).

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة للغاية لأنها تستغل خاصية أساسية ومميزة للدوال الخطية وهي قيمة f(0)، والتي تمثل نقطة التقاطع مع محور التراتيب. هذه النقطة لها تفسير هندسي مباشر وواضح على الرسم البياني. كل دالة خطية لها قيمة f(0) فريدة، وكل خط مستقيم في التمثيل البياني يقطع محور التراتيب عند نقطة فريدة. هذا التطابق المباشر يجعل عملية المطابقة سهلة وسريعة، وتقلل من احتمالية الخطأ، خاصة وأن الدوال هنا بسيطة ومعاملاتها واضحة.

1. الوضوح البصري: نقطة التقاطع مع محور التراتيب واضحة جداً على الرسم البياني.
2. الجانب الجبري: حساب f(0) من الصيغة الجبرية للدالة هو عملية حسابية بسيطة ومباشرة.
3. التوحيد: الربط بين القيمة الجبرية f(0) والإحداثي y لنقطة التقاطع يوحد بين تمثيلي الدالة الجبري والهندسي.

🎮 منطقة التدريب

لتكن لدينا الدالة g(x) = 3x + 5. ما هو التمثيل البياني المناسب لهذه الدالة من بين الخطوط التالية (بدون رسوم):
(d_a): يقطع محور التراتيب عند 5.
(d_b): يقطع محور التراتيب عند 3.
(d_c): يقطع محور التراتيب عند -5.

🔍 اضغط للحل

لحساب f(0) للدالة g(x) = 3x + 5: g(0) = 3(0) + 5 = 0 + 5 = 5. إذن، الدالة g(x) تقطع محور التراتيب عند القيمة 5.

✅ الحل: التمثيل البياني (d_a) هو التمثيل المناسب للدالة g(x).

⚠️ أخطاء شائعة

• الخلط بين محور التراتيب ومحور الفواصل: قد يخطئ البعض في تحديد المحور الذي يجب قراءة القيمة عليه (محور y بدلاً من x).
• أخطاء في حساب f(0): أخطاء حسابية بسيطة عند التعويض بـ x=0 في صيغة الدالة.
• قراءة خاطئة للرسم البياني: عدم الدقة في تحديد نقطة تقاطع الخط مع محور التراتيب.
• الخلط بين الدوال: مطابقة دالة مع خط لا يمثلها بسبب عدم الانتباه للقيمة الصحيحة لـ f(0).
• تجاهل الإشارة: عدم الانتباه للإشارة السالبة عند قراءة قيمة f(0) من الرسم أو حسابها.

نصائح ذهبية

1. ركز على f(0): هذه القيمة هي مفتاح الحل في مثل هذه التمارين، لأنها تمثل نقطة التقاطع مع محور التراتيب وهي واضحة في الرسم.
2. تحقق من كل دالة: لا تتعجل في المطابقة، قم بحساب f(0) لكل دالة على حدة.
3. اقرأ الرسم بعناية: تأكد من أنك تقرأ القيمة الصحيحة لنقطة التقاطع مع محور التراتيب في التمثيل البياني.
4. استخدم خصائص أخرى (اختياري): إذا كانت هناك دوال متشابهة في قيمة f(0)، يمكنك النظر إلى ميل الخط (معامل x) لتحديد التمثيل الصحيح.
5. لا تخف من الأرقام السالبة: انتبه جيداً للأعداد السالبة عند قراءة الرسوم أو إجراء الحسابات.
6. تدرب على تمارين مشابهة: كلما تدربت أكثر، زادت سرعتك ودقتك في حل هذه المسائل.

❓ أسئلة شائعة

ماذا يعني f(0) بالنسبة للدالة الخطية؟

f(0) يمثل قيمة الدالة عندما تكون x=0. في سياق الدوال الخطية، هذه القيمة تعطينا مباشرة الإحداثي الصادي (y-coordinate) لنقطة تقاطع المستقيم مع محور التراتيب (y-axis). إنها قيمة أساسية لتحديد موقع الخط البياني.

هل هناك طرق أخرى لمطابقة الدوال مع رسومها البيانية؟

نعم، يمكننا أيضاً النظر إلى ميل الخط المستقيم، والذي يمثله معامل x في صيغة الدالة f(x) = ax + b. الميل a يحدد اتجاه الخط: إذا كان a > 0، فإن الخط يتجه للأعلى من اليسار إلى اليمين (متزايد). إذا كان a < 0، فإن الخط يتجه للأسفل (متناقص). إذا كان a = 0، فإن الخط يكون أفقياً.

ماذا لو تقاطعت عدة خطوط مع محور التراتيب عند نفس القيمة؟

في هذه الحالة، يجب اللجوء إلى خاصية أخرى للدوال الخطية، وهي الميل. إذا كانت قيم f(0) متساوية لعدة دوال، فسنقارن معاملات x (الميل) لتحديد أي خط يمثل أي دالة. الخطوط التي لها نفس الميل تكون متوازية.

📌 تذكير: فهم العلاقة بين الصيغة الجبرية للدالة والتمثيل البياني لها هو من أساسيات تعلم الرياضيات. ممارسة هذا النوع من التمارين تساعدك على بناء تصور هندسي للدوال.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 11 ص 87 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال