🎯 ما ستتعلمه
- فهم كيفية تعيين دالة تآلفية بمعرفة قيمتها عند نقطتين.
- حساب معامل الدالة التآلفية (الميل).
- حساب قيمة الجزء الثابت (الترتيب عند الأصل).
- كتابة معادلة الدالة التآلفية بالشكل الصحيح.
- تطبيق المفاهيم الرياضية على مسائل حياتية.
أهلاً بك يا بطل الرياضيات في الصف الرابع متوسط! نستعرض معاً حل التمرين 12 صفحة 87، وهو تمرين مميز يساعدك على فهم وتطبيق مفاهيم الدوال التآلفية بشكل عملي.
© edrasa.ezpy.org
تحليل معطيات التمرين
يهدف هذا التمرين إلى تعيين دالة تآلفية (خطية مع جزء ثابت) بمعرفة قيمتها عند نقطتين محددتين. سنقوم أولاً بتحديد المعامل والمتغير الثابت في معادلة الدالة، ثم نكتب الدالة النهائية. فهم كيفية استخلاص المعلومات من معطيات المسألة هو الخطوة الأولى نحو حلها بنجاح.
📝 معطيات المسألة
لدينا دالة تآلفية f. معطى أن: f(0) = 5 و f(1) = 2. المطلوب: تعيين الدالة f وكتابة عبارتها.
الحل خطوة بخطوة
المرحلة ¹: حساب معامل الدالة (a)
لحساب معامل الدالة a، نستخدم الصيغة التي تمثل ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x_1, f(x_1)) و (x_2, f(x_2)). في هذه الحالة، النقطتان هما (0, 5) و (1, 2). نعوض قيم x و f(x) في القانون.
المرحلة ²: حساب ترتيب الدالة عند الأصل (b)
الآن بعد أن عرفنا قيمة a = -3، يمكننا استخدام إحدى النقطتين المعطاتين لإيجاد قيمة b. نختار النقطة (0, 5) لأنها أسهل للتعامل معها. نعوض x=0 و f(0)=5 في معادلة الدالة f(x) = ax + b.
المرحلة ³: كتابة عبارة الدالة التآلفية
بعد حساب قيمتي a و b، يمكننا الآن كتابة عبارة الدالة التآلفية f بشكل كامل. نضع قيمة a التي حسبناها في مكانها، وقيمة b التي حسبناها في مكانها في الصورة العامة للدالة التآلفية f(x) = ax + b.
✅ النتائج النهائية:
معامل الدالة a = -3.
ترتيب الدالة عند الأصل b = 5.
عبارة الدالة التآلفية هي f(x) = -3x + 5.
لماذا هذه الطريقة فعالة؟
تعتبر هذه الطريقة فعالة لأنها تعتمد على تعريف الدالة التآلفية وصيغة حساب الميل بشكل مباشر. فهي تكسر المسألة إلى خطوات صغيرة ومنطقية، مما يسهل فهم كيفية الوصول إلى الحل. التركيز على حساب a ثم b يضمن عدم الوقوع في أخطاء حسابية أو مفاهيمية.
- الفهم المنهجي: تبدأ بتعريف f(x) = ax + b ثم تستخدم المعطيات لحساب a و b.
- الوضوح: كل خطوة تستخدم نتيجة الخطوة السابقة، مما يخلق تسلسلاً منطقياً.
- الاختصار: استخدام النقطة (0, f(0)) يبسط إيجاد b بشكل كبير.
🎮 منطقة التدريب
عين الدالة التآلفية g علماً أن g(2) = 7 و g(-1) = -2.
🔍 اضغط للحل
أولاً، نحسب معامل الدالة a: a = (-1) - g(2)-1 - 2 = -2 - 7-3 = -9-3 = 3 ثانياً، نستخدم النقطة (2, 7) لإيجاد b: g(2) = a × 2 + b ← 7 = 3 × 2 + b ← 7 = 6 + b ← b = 1 إذن، عبارة الدالة g هي: g(x) = 3x + 1.
⚠️ أخطاء شائعة
- الخطأ في الإشارة: عند طرح القيم في بسط أو مقام صيغة a.
- الخلط بين x و f(x): وضع قيمة x في مكان f(x) أو العكس.
- عدم التبسيط: ترك الكسور المعقدة دون تبسيط.
- نسيان b: الاكتفاء بإيجاد a دون إيجاد b.
- الحساب الخاطئ لـ b: ارتكاب أخطاء عند التعويض أو حل المعادلة لإيجاد b.
نصائح ذهبية
- فهم التعريف: تأكد من فهمك لمعنى a و b في الدالة التآلفية.
- الكتابة الواضحة: اكتب كل خطوة بوضوح، بما في ذلك الصيغ المستخدمة.
- استخدام النقطة (0, f(0)): هذه النقطة تسهل جداً إيجاد b.
- التحقق: بعد إيجاد الدالة، عوض بالنقطة الثانية التي لم تستخدمها في إيجاد b للتحقق من صحة الحل.
- مراجعة العمليات: راجع عمليات الطرح والضرب والقسمة جيداً.
- الاستعانة بالرسوم البيانية: يمكن رسم الدالة لتصور شكلها وفهم معنى الميل.
❓ أسئلة شائعة
ما الفرق بين الدالة الخطية والدالة التآلفية؟
الدالة الخطية هي حالة خاصة من الدالة التآلفية حيث يكون المعامل a هو الذي يمثل الميل، ولكن الجزء الثابت b يساوي صفر. أي أن الدالة الخطية تكون على الشكل f(x) = ax. بينما الدالة التآلفية هي f(x) = ax + b حيث يمكن أن تكون b أي قيمة حقيقية.
متى تكون الدالة التآلفية متزايدة أو متناقصة؟
تكون الدالة التآلفية f(x) = ax + b متزايدة إذا كان معاملها a موجباً (a > 0). وتكون متناقصة إذا كان معاملها a سالباً (a < 0). وإذا كان a=0، تكون الدالة ثابتة.
كيف يمكنني التأكد من صحة الحل؟
بعد إيجاد عبارة الدالة f(x) = ax + b، يمكنك التحقق بتعويض قيم x للنقطتين المعطاتين. يجب أن تحصل على نفس قيم f(x) المعطات. على سبيل المثال، في هذا التمرين، بعد أن وجدنا f(x) = -3x + 5, نعوض x=1 فنجد f(1) = -3(1) + 5 = -3 + 5 = 2, وهي القيمة المعطات.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل
لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:
🎥 حل تمرين 12 ص 87 رياضيات 4 متوسط