أهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 17 من صفحة 123 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- كيفية استخدام العلاقة الأساسية في حساب المثلثات (sin²x + cos²x = 1).
- كيفية حساب قيمة cos x بمعرفة قيمة sin x.
- كيفية حساب قيمة tan x باستخدام sin x و cos x.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
التمرين يطلب منا في جزئه الأول (1) حساب القيمة المضبوطة لـ cos x، وذلك بعد أن أعطانا قيمة sin x وهي √3 / 2، مع العلم أن x زاوية حادة. ثم في الجزء الثاني (2)، سيطلب منا استنتاج قيمة مقربة لـ tan x.
📝 المعطيات التي لدينا:
- x زاوية حادة.
- sin x = √3 / 2
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: حساب cos²x
بما أننا نعرف قيمة sin x، يمكننا استخدام العلاقة الأساسية sin²x + cos²x = 1 لإيجاد cos²x. لنعوض بقيمة sin x التي لدينا:
الآن، لنقوم بتربيع √3 / 2. نتذكر أن (√3)² = 3 وأن 2² = 4. إذن، (√3 / 2)² = 3 / 4.
نعوض بهذا في المعادلة:
لإيجاد cos²x، نطرح 3/4 من الطرفين:
لتبسيط 1 - 3/4، نجعل 1 على شكل كسر مقامه 4، أي 4/4:
الخطوة ²: حساب cos x
لقد وجدنا أن cos²x = 1 / 4. لإيجاد cos x، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين. نتذكر أن الجذر التربيعي لـ 1 هو 1، والجذر التربيعي لـ 4 هو 2.
إذن، cos x = ±√(1/4) = ±1/2.
لكن انتبه يا بطل! التمرين ذكر أن x "زاوية حادة". الزوايا الحادة (التي قياسها أقل من 90 درجة) في الربع الأول تكون فيها قيمة cos x موجبة دائماً. لذلك، نختار القيمة الموجبة.
الخطوة ³: استنتاج قيمة tan x
الآن بعد أن عرفنا قيمتي sin x و cos x، يمكننا حساب tan x بسهولة باستخدام العلاقة:
نعوض بالقيم التي حصلنا عليها:
لقسمة كسرين، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:
نختصر 2 مع 2:
هذه هي القيمة المضبوطة لـ tan x. التمرين في جزئه الثاني يطلب قيمة مقربة. قيمة √3 التقريبية هي 1.732.
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
1) القيمة المضبوطة لـ cos x هي: 1/2
2) القيمة المقربة لـ tan x هي: 1.73
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا العلاقة الأساسية في حساب المثلثات لأنها تربط بين sin x و cos x، وهي المعطيات الأساسية التي نحتاجها. ثم، بعد إيجاد cos x، استخدمنا تعريف tan x الذي يعتمد على sin x و cos x. هذه الطريقة مباشرة وفعالة للحصول على النتائج المطلوبة.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- النسيان أن cos x يمكن أن يكون موجباً أو سالباً، ثم عدم استخدام معلومة "زاوية حادة" لاختيار القيمة الصحيحة.
- أخطاء في العمليات الحسابية عند تربيع الكسور أو قسمتها.
- عدم تذكر العلاقة بين tan x و sin x و cos x.
💎 نصائح ذهبية لك:
- احفظ العلاقات الأساسية: العلاقة sin²x + cos²x = 1 والعلاقة tan x = sin x / cos x هما مفتاحك لفهم حساب المثلثات.
- انتبه لشروط الزاوية: معرفة ما إذا كانت الزاوية حادة، منفرجة، إلخ، يساعدك كثيراً في تحديد إشارة الدوال المثلثية (sin, cos, tan).
- تدرب على العمليات على الكسور والجذور: هذه العمليات أساسية لتجنب الأخطاء الحسابية.
🎮 جرب بنفسك!
إذا علمت أن y زاوية حادة وأن cos y = 4/5، أوجد القيمة المضبوطة لـ sin y ثم القيمة المقربة لـ tan y.
🔍 اضغط لرؤية الحل
📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 16 صفحة 123 رياضيات 4 متوسط - شرح مفصل الجيل الثانيمقال سابق مفيد لمتابعة التعلم.❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
لماذا اخترنا cos x موجبة؟
لأن التمرين حدد أن x "زاوية حادة"، والزوايا الحادة (من 0° إلى 90°) تقع في الربع الأول من دائرة الوحدة، وفي هذا الربع تكون قيمتا sin x و cos x موجبتين.
ماذا لو لم تكن الزاوية حادة؟
إذا لم تكن الزاوية حادة، قد تكون cos x سالبة (في الربع الثاني مثلاً)، وسنحتاج لمعلومات إضافية لتحديد القيمة الصحيحة.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 17 ص 123 رياضيات 4 متوسط