حل تمرين 18 صفحة 111 رياضيات 4 متوسط

أهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 18 من صفحة 111 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!

🎯 في هذا الدرس ستتعلم:

استخدام المسطرة لتحديد نقاط على مستقيم.
فهم وتطبيق خاصية التناسب في الهندسة.
التعرف على وضعية طاليس ورسم المستقيمات المتوازية.

📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب

التمرين يطلب منا إنشاء شكل هندسي دون استعمال المسطرة فقط، بل باستخدام المسطرة المدرجة (التي فيها أرقام). سنقوم بتحديد نقطة M على مستقيم (AB) بحيث تكون المسافة AM تساوي 4/9 من المسافة AB. بعد ذلك، سنرسم مستقيماً يمر بالنقطة A ويختلف عن المستقيم (AB)، ونحدد نقطتين I و J على هذا المستقيم، بحيث تكون AI = 9a و AJ = 4a (حيث 'a' هو طول سنحدده). في النهاية، سنرسم مستقيماً موازياً للمستقيم (AB) يمر بالنقطة I، ثم نرى أين سيقطع هذا المستقيم الجديد (الذي رسمناه في البداية) في النقطة M.

📝 المعطيات التي لدينا:

المستقيم (AB).
نقطة M تنتمي إلى المستقيم (AB) بحيث: AM / AB = 4/9.
مستقيم آخر يمر بالنقطة A.
النقطتان I و J تقعان على هذا المستقيم الجديد، وتختلفان عن A.
AI = 9a و AJ = 4a (حيث 'a' هو طول غير محدد).
سنرسم مستقيماً يوازي (AB) ويمر بالنقطة I.

💡 فكرة مهمة: عندما نرسم مستقيمات متوازية تقطع مستقيمين آخرين (غير متوازيين)، فإن النسب بين أطوال القطع المستقيمة على المستقيم الأول تكون مساوية للنسب بين أطوال القطع المستقيمة المقابلة على المستقيم الثاني. هذه هي "خاصية طاليس" الشهيرة!

✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة

الخطوة ¹: تحديد النقطة M

لدينا العلاقة AM / AB = 4/9. هذا يعني أن طول القطعة AM هو 4/9 من طول القطعة AB. تخيل أنك قسّمت القطعة AB إلى 9 أجزاء متساوية. فإن النقطة M ستقع عند نهاية الجزء الرابع من هذه الأجزاء، بدءاً من A.

AM = (4/9) * AB

الخطوة ²: تحديد النقطتين I و J

سنرسم مستقيماً يمر بالنقطة A. ثم نختار نقطتين I و J على هذا المستقيم بحيث تكون المسافة AI تساوي 9 أضعاف طول ما (a)، والمسافة AJ تساوي 4 أضعاف نفس الطول (a). لاحظ أن النسبة بين AI و AJ هي:

AJ / AI = (4a) / (9a) = 4/9

وهذا يعني أن AJ هي 4/9 من AI.

الخطوة ³: رسم المستقيم الموازي

الآن، سنرسم مستقيماً يمر بالنقطة I ويكون موازياً للمستقيم (AB). هذا المستقيم سيقطع المستقيم الذي حددنا عليه I و J في نقطة. سنسمي هذه النقطة M (لاحظ أن التمرين يطلب منا "إنشاء دون استعمال مسطرة مدرجة" في البداية، ولكن استخدام المسطرة المدرجة هنا ضروري لتحديد النسب).

المستقيم (IM) يوازي المستقيم (AB)

الخطوة ⁴: تطبيق وضعية طاليس

تخيل المثلث الكبير الذي رؤوسه هي A، ونقطة تقاطع المستقيمين (AB) و (AI) (وهي A نفسها)، ونقطة تقاطع المستقيم المار بـ I والموازي لـ (AB) مع المستقيم (AJ). لاحظ أن لدينا مستقيمين (AI) و (AB) يلتقيان في A. ولدينا نقطتان I و J على المستقيم (AI) والنقطة M على المستقيم (AB). والأهم: المستقيم (IM) يوازي المستقيم (AB). هذا بالضبط هو وضعية طاليس! في وضعية طاليس، تكون النسب بين القطع متساوية. لدينا:

النقطتان A، J، I على أحد المستقيمين.
النقطتان A، M، B على المستقيم الآخر.
المستقيم (JM) يوازي المستقيم (IB). (في تمريننا، المستقيم (IM) يوازي (AB) حيث A،M،B على أحد المستقيمين و A،J،I على الآخر).

المثلثان AMJ و ABI متشابهان. إذن، لدينا العلاقات التالية:

AM / AB = AJ / AI = MJ / BI

دعنا نعوض بالقيم التي نعرفها:

AM / AB = 4/9 (من المعطيات).
AJ / AI = 4a / 9a = 4/9 (من المعطيات).

لاحظ يا بطل أن النسب متطابقة! هذا يؤكد أن كل ما قمنا به صحيح.

✅ إذن الإجابة النهائية هي:

النقطة M التي تم إنشاؤها هي بالفعل النقطة التي تحقق الشرط AM/AB = 4/9.

🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟

استخدمنا هذه الطريقة لأن التمرين يعتمد بشكل أساسي على فهم وتطبيق وضعية طاليس. وضعية طاليس تسمح لنا بربط أطوال قطع مستقيمة في مستقيمين يقطعهما مستقيم ثالث، خاصة عندما يكون لدينا مستقيمات متوازية. عندما نعلم نسبة على أحد المستقيمين (مثل AJ/AI)، ونريد إيجاد نفس النسبة على المستقيم الآخر (AM/AB)، فإن وضعية طاليس هي الأداة المثلى لذلك.

⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:

عدم التأكد من التوازي: وضعية طاليس تعتمد بشكل أساسي على توازي المستقيمات. تأكد دائماً أن المستقيم الذي ترسمه هو فعلاً موازٍ للمستقيم الأصلي.
خلط النسب: احرص على أن تكون النسب مرتبة بشكل صحيح. مثلاً، إذا بدأت بـ AM/AB، فيجب أن تكون النسبة الثانية AJ/AI، وليس AI/AJ.
الخطأ في حساب الطول 'a': بما أن 'a' ثابت، فيجب أن تكون النسب بين القطع الناتجة منه ثابتة، مثل AJ/AI = 4a/9a = 4/9.

💎 نصائح ذهبية لك:

ارسم بوضوح: عندما ترسم الأشكال الهندسية، استخدم قلماً رصاصاً خفيفاً أولاً ثم قم بتوضيح الخطوط الأساسية. هذا يساعدك على التصحيح إذا أخطأت.
تدرب على وضعية طاليس: حل تمارين أخرى تتعلق بوضعية طاليس. كلما تدربت أكثر، أصبحت أسهل وأسرع.
فهم المعطيات: قبل أن تبدأ الحل، اقرأ التمرين أكثر من مرة وتأكد أنك فهمت كل معطياته وما هو المطلوب منك بالضبط.

🎮 جرب بنفسك!

لنفترض أن لدينا مستقيماً (XY) ونقطة M على (XY) بحيث XM/XY = 3/5. ارسم مستقيماً آخر يمر بـ X، وحدد عليه نقطتين P و Q بحيث XP = 5b و XQ = 3b. الآن، ارسم مستقيماً يمر بالنقطة P ويوازي (XY). أين سيقطع هذا المستقيم الجديد (الذي يمر بـ X) عند النقطة M؟

🔍 اضغط لرؤية الحل

في هذا التمرين، لدينا:

XM / XY = 3/5
XP = 5b, XQ = 3b
المستقيم (PM) يوازي (XY)

بتطبيق وضعية طاليس على المثلث الذي رؤوسه X، Q، P والمستقيم (XM) الموازي لـ (QP) (لا، ليس هذا صحيحاً، بل العكس)، المستقيم (XM) يوازي (YP) (المستقيم الأكبر). لدينا المستقيمان (XQ) و (XP) يلتقيان في X. ولدينا النقطتان M على (XP) و Y على (XQ)؟ لا، هذا ليس صحيحاً. لنعد صياغة التمرين: لدينا مستقيم (XY). النقطة M تنتمي إلى (XY) بحيث XM/XY = 3/5. نرسم مستقيماً آخر يمر بالنقطة X. نحدد عليه نقطتين P و Q بحيث XP = 5b و XQ = 3b. نرسم مستقيماً يمر بالنقطة Q ويوازي (XY). هذا المستقيم سيقطع المستقيم (XP) في نقطة. سنسمي هذه النقطة M. في وضعية طاليس: XQ / XP = XM / XY 3b / 5b = XM / XY 3/5 = XM / XY إذن، النقطة M التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة هي بالفعل النقطة المطلوبة.

❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:

هل يمكن استخدام المسطرة العادية بدون تدريج؟

للتمرين الذي بين أيدينا، السؤال يطلب "إنشاء دون استعمال مسطرة مدرجة" في جزء منه، ولكن لإيجاد النسب (مثل AM/AB = 4/9)، نحتاج في الواقع إلى أداة لقياس المسافات أو لتقسيمها. المسطرة المدرجة تساعدنا في ذلك.

ما هي وضعية طاليس؟

وضعية طاليس هي حالة هندسية خاصة تتضمن مستقيمين (غير متوازيين) يقطعهما مستقيمان متوازيان. ينتج عن ذلك تشابه بين مثلثين (أو مثلث صغير ومثلث كبير) وتساوي في نسب الأطوال بين القطع المحددة على المستقيمين.

🌟 كلمة أخيرة: أتمنى أن يكون شرح هذا التمرين قد بسّط لك الفكرة وجعلك تشعر بثقة أكبر. تذكر دائماً أن كل تمرين تحلّه هو خطوة نحو إتقان الرياضيات. استمر في الممارسة، وسترى بنفسك كيف تصبح الأمور أسهل وأكثر متعة! أنت رائع يا بطل! 💪

Ezpy للدراسة