📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 18 صفحة 123 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 19 من صفحة 123 في مادة الرياضيات. لا تقلق أبداً، سأكون معك خطوة بخطوة لأشرح لك كل شيء بوضوح تام، حتى تشعر بالثقة وتتمكن من حل أي تمرين مشابه. أنت رائع وقادر على تحقيق أفضل النتائج!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- فهم وتطبيق خصائص المثلثات القائمة.
- حساب المثلثات (الجيب، جيب التمام، الظل).
- إثبات صحة المساواة الرياضية باستخدام المعطيات.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
التمرين يطلب منا في جزئه الأول رسم شكل مناسب للمعلومات المعطاة، ثم في الأجزاء التالية، سنقوم بتبرير صحة مساواة معينة، وحساب قيم لبعض الزوايا والأضلاع باستخدام العلاقات المثلثية.
📝 المعطيات التي لدينا:
لدينا مثلث ABC، ورأينا في الشكل المرسوم أنه مثلث قائم في H، حيث H نقطة على الضلع BC. وهناك قيم معلومة لبعض الدوال المثلثية لزاوية 60 درجة.
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: إنجاز الشكل المناسب
بما أن التمرين يبدأ بـ "إنجاز شكلاً مناسباً"، فهذا يعني أن علينا رسم مثلث ABC، ثم رسم الارتفاع AH من الرأس A على الضلع BC، حيث تلتقي النقطة H على BC. سنضع الزوايا والقيم المعلومة على الرسم ليساعدنا في فهم باقي أجزاء التمرين.
الخطوة ²: تبرير صحة المساواة cos 60° = ½ واستنتاج sin 60° = √3/2 و tan 60° = √3
في هذا الجزء، علينا أن نستخدم المعلومات الموجودة لدينا لإثبات هذه العلاقات. لننظر إلى المعطيات التي غالباً ما تكون متعلقة بمثلثات شهيرة مثل المثلث القائم الذي فيه زاوية 30° أو 60°.
لدينا في التمرين معطى في الجزء (3) يذكر أن الزاوية تساوي 30 درجة، وهذا يفيدنا كثيراً. لكن لنبدأ بما هو مطلوب تحديداً.
يبدو أن التمرين يبدأ بتقديم هذه القيم كمسلمات لنا في الجزء الثاني، ويطلب منا تبريرها. دعنا نفترض أننا أمام مثلث شهير فيه زاوية 60 درجة، مثلاً المثلث القائم AHB إذا كانت الزاوية تساوي 60 درجة.
مبررات قيم الزاوية 60°:
من جهة أخرى لدينا:
وهذا يؤكد لنا أن القيم المعطاة هي قيم صحيحة ودقيقة للزاوية 60 درجة. التمرين يعرضها لنا لتستخدمها.
الخطوة ³: حساب الزوايا في المثلث ABC
لدينا في التمرين معطيات حول المثلث ABC، وأن = . بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، فإذا كانت لدينا زاوية أخرى معلومة، يمكننا حساب البقية.
المثلث ABC هو مثلث قائم في H (وهذا يعني أن = 90°).
لدينا في التمرين: = = 180°3 = 60°. هذا الجزء يبدو غير مكتمل في الصورة، ربما كان هناك معطى يربط مجموع الزوايا أو الأضلاع ليعطينا هذه النتيجة.
إذا افترضنا أن = ، فهذا يعني أن المثلث ABC متساوي الساقين (الساقان AB و AC متساويان). ولكن هذا لا يعني بالضرورة أن = = 60° إلا إذا كان المثلث متساوي الأضلاع أيضاً. لننظر إلى باقي المعلومات.
استنتاج: من المعطيات، يبدو أننا وصلنا إلى أن = 60° و = 60°. لكن هذا يتطلب توضيحاً أكبر في نص التمرين الأصلي.
الخطوة ⁴: حساب الزاوية
قياس الزاوية هو 30° لأن:
بما أن = 90° (لأن AH ارتفاع) و = 60° (حسب الاستنتاج السابق)، فإن:
= 180° - 150°
= 30°
ممتاز يا بطل! لقد حسبنا الزاوية ووجدناها تساوي 30 درجة.
الخطوة ⁵: إثبات المساواة sin² + cos² = 1
هذه علاقة أساسية في المثلثات! وهي صحيحة دائماً لأي زاوية، ولكن التمرين يطلب منا إثباتها باستخدام القيم المعطاة.
لدينا = 60°. سنعوض بقيم sin 60° و cos 60° التي نعرفها:
= (√32)² + (12)²
= 34 + 14
= 44 = 1
وهكذا، يا مهندس الرياضيات، أثبتنا صحة هذه المساواة للمثلث. أنت رائع!
الخطوة ⁶: استنتاج قيمة cos
هنا يبدو أن هناك خطأ مطبعي أو نقص في التمرين، حيث أن الزاوية A في المثلث ABC هي . ولإيجاد ، نحتاج لمعرفة قياسها.
ولكن، إذا كان المقصود هو حساب ، فيمكننا فعل ذلك.
لنعد إلى حساب :**
في المثلث القائم AHB، لدينا = 30°.
إذا كان المقصود هو حساب :**
نحن نعلم أن = + . وقد حسبنا = 30°. إذا كان لدينا معلومات عن ، يمكننا إكمال الحل.
ولكن، دعنا نتبع ما هو مكتوب في الصورة. يبدو أن التمرين ينتقل لحساب ² بناءً على مساواة جديدة.
لدينا: ² + 14 = 1.
لحلها، نطرح 14 من الطرفين:
² = 34
وبما أن عدد موجب (لأن الزاوية A ستكون حادة في سياق المثلث)، فإن:
إذا كان = √32، فهذا يعني أن الزاوية = 30°. ولكن هذا يتناقض مع = 60° و = 60° لأن مجموع الزوايا سيكون 30° + 60° + 60° = 150° وهو ليس 180°.
إعادة النظر: يبدو أن هنا في المعادلة ² + 14 = 1 هي في الواقع قياس الزاوية أو ، وليس .
لنتبع ما هو مكتوب في التمرين حرفياً:
بما أن ² + (12)² = 1 أي ² + 14 = 1.
فإن ² = 34.
وبالتالي = √32 (عدد موجب).
وهذا يعني أن الزاوية = 30°. هنا، يبدو أن المقصود بالزاوية A هو في الواقع زاوية أخرى مثل أو أو إحدى الزوايا في المثلث القائم AHB أو AHC.
الخطوة ⁷: استنتاج قيمة 30°
من جهة أخرى لدينا:
ونحن نعلم أن 30° = 12 و 30° = √32.
للتخلص من الجذر في المقام، نضرب البسط والمقام في √3: 30° = 1 × √3√3 × √3 = √33
وهذا يطابق القيمة الموجودة في الصورة. أنت تقوم بعمل رائع!
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
لقد قمنا بتبرير العديد من العلاقات المثلثية وحساب قياسات لبعض الزوايا في المثلث، وأثبتنا صحة المتطابقات المثلثية.
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا هذه الطريقة لأنها تعتمد على العلاقات الأساسية في علم المثلثات. عندما نتعامل مع مثلثات قائمة، فإن النسب المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل) هي أدواتنا الأساسية لربط الزوايا بأطوال الأضلاع. المتطابقة ² + ² = 1 هي حجر الزاوية في حساب المثلثات، وتساعدنا على إيجاد قيم غير معروفة أو إثبات صحة المساواة.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين الزوايا: تأكد دائماً من الزاوية التي تتعامل معها (مثلاً تختلف عن ).
- الأخطاء في حساب الجذور التربيعية: كن حذراً عند تربيع الكسور التي تحتوي على جذور، وتذكر أن √a² = a.
- النسيان أن مجموع زوايا المثلث 180°: هذه قاعدة أساسية لا تغفل عنها أبداً.
💎 نصائح ذهبية لك:
- ارسم الشكل بدقة: الرسم الجيد يوضح لك كل شيء ويساعد على تجنب الأخطاء.
- احفظ المتطابقات الأساسية: ² + ² = 1 و = هي مفاتيحك.
- تدرب على حساب المثلثات: كلما تدربت أكثر، أصبحت أسرع وأكثر دقة في حساب هذه القيم.
🎮 جرب بنفسك!
في مثلث قائم الزاوية XYZ، حيث = 90° و = 45°. احسب قيمة و .
🔍 اضغط لرؤية الحل
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
ماذا يعني عندما نقول "عدد موجب" في سياق حساب المثلثات؟
في سياق المثلثات، الزوايا تكون عادة بين 0° و 180°. عندما نقول "عدد موجب" لـ cos أو sin، فهذا يعني أن الزاوية تقع في الربع الأول أو الثاني (حيث تكون قيم sin موجبة دائماً، وقيم cos موجبة في الربع الأول وسالبة في الربع الثاني). في سياق المثلثات، غالباً ما نتحدث عن زوايا حادة (أقل من 90°)، وبالتالي تكون قيم cos و sin موجبة.
كيف يمكنني أن أتذكر قيم sin و cos للزوايا الشهيرة (30°, 45°, 60°)?
هناك طرق عديدة! يمكنك استخدام قاعدة اليد اليسرى، أو حفظ جدول القيم، أو حتى رسم المثلثات الشهيرة (المتساوي الأضلاع ومقسم ليصبح قائمين، والمربع ومقسم ليصبح قائمين). مع الممارسة، ستصبح هذه القيم مألوفة لديك.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 19 ص 123 رياضيات 4 متوسط الجيل الثاني