📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 1 صفحة 122 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 2 من صفحة 122 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- كيف تثبت أن مثلثًا قائم الزاوية باستخدام خاصية فيثاغورس العكسية.
- كيف تحسب ظل الزاوية (tan) في مثلث قائم الزاوية.
- كيف تطبق مفاهيم الرياضيات على مسائل عملية.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
في هذا التمرين، لدينا قطعة من المعلومات عن مثلث اسمه ABC، والمطلوب منا شيئين رئيسيين: أولاً، أن نثبت أن هذا المثلث قائم الزاوية عند النقطة A. ثانياً، أن نحسب قيم ظل الزاويتين B و C. تبدو سهلة، أليس كذلك؟ هيا بنا نبدأ!
📝 المعطيات التي لدينا:
لدينا أطوال أضلاع المثلث ABC، وهي:
- طول الضلع BC = 17.5
- طول الضلع AB = 10.5
- طول الضلع AC = 14
ولدينا أيضاً بعض العمليات الحسابية التي تبدو وكأنها بداية لحل الجزء الأول:
- BC² = 17.5² = 306.25
- AB² = 10.5² = 110.25
- AC² = 196
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: التحقق من خاصية فيثاغورس العكسية
يا بطل، لتثبت أن المثلث ABC قائم في A، يجب أن نطبق خاصية فيثاغورس العكسية. هذا يعني أننا سنقارن مربع طول الضلع الأطول (BC) بمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (AB و AC). سنستخدم الأرقام التي أعطونا إياها:
لدينا:
- BC² = 306.25
- AB² + AC² = 110.25 + 196 = 306.25
نلاحظ أن:
BC² = AB² + AC²
ممتاز! بما أن مربع طول الضلع BC يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين AB و AC، فهذا يعني أن المثلث ABC قائم الزاوية، والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة للضلع الأطول BC، وهي الزاوية A.
الخطوة ²: حساب ظل الزاويتين B و C
الآن، بعد أن تأكدنا أن المثلث قائم في A، أصبح الأمر أسهل لحساب ظل الزوايا. نتذكر أن ظل الزاوية في مثلث قائم الزاوية هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور لها.
لحساب ظل الزاوية B (tan ):
- الضلع المقابل للزاوية B هو AC وطوله 14.
- الضلع المجاور للزاوية B هو AB وطوله 10.5.
إذن:
tan = = 1410.5
يمكننا تبسيط هذا الكسر. لو ضربنا البسط والمقام في 10، نحصل على 140105. يمكننا قسمة كليهما على 35، فنحصل على 43.
tan = 1410.5 = 140105 = 43
لحساب ظل الزاوية C (tan ):
- الضلع المقابل للزاوية C هو AB وطوله 10.5.
- الضلع المجاور للزاوية C هو AC وطوله 14.
إذن:
tan = = 10.514
يمكننا تبسيط هذا الكسر أيضاً. لو ضربنا البسط والمقام في 10، نحصل على 105140. يمكننا قسمة كليهما على 35، فنحصل على 34. وكما نرى في التمرين، 34 يساوي 0.75.
tan = 10.514 = 105140 = 34 = 0.75
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
المثلث ABC قائم الزاوية في A.
tan = 43
tan = 0.75
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا خاصية فيثاغورس العكسية لأنها الطريقة الرياضية المثبتة علمياً للتحقق من قائمه زاوية المثلث عندما تكون أطوال الأضلاع معلومة. أما حساب ظل الزاوية، فهو تطبيق مباشر لتعريف الظل في المثلث القائم، وهو ما درستموه من قبل. بهذه الخطوات، نكون قد أجبنا عن كل أجزاء السؤال بدقة ومنطق.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين الضلع المقابل والمجاور: تأكد دائماً أنك تعرف أي ضلع يقابل الزاوية وأي ضلع يجاورها.
- أخطاء في العمليات الحسابية: راجع حساباتك جيداً، خاصة عند التعامل مع الأعداد العشرية والأسس.
- عدم تطبيق الخاصية العكسية بشكل صحيح: تذكر أن فيثاغورس العكسية تتطلب مقارنة مربع الوتر بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.
💎 نصائح ذهبية لك:
- ارسم المثلث: حتى لو لم يطلب منك التمرين ذلك، رسم تخطيطي للمثلث يساعدك على تحديد الأضلاع والزوايا بشكل أفضل.
- راجع القواعد: قبل البدء في حل أي تمرين، تأكد أنك تتذكر القواعد والمفاهيم المتعلقة به.
- لا تخف من الكسور: الكسور جزء مهم من الرياضيات، تعلم كيف تبسطها وتتعامل معها يجعل حساباتك أسهل.
🎮 جرب بنفسك!
إذا كان لديك مثلث XYZ أطوال أضلاعه XY=6، YZ=8، و XZ=10. هل المثلث XYZ قائم الزاوية؟ إذا كان كذلك، عند أي رأس؟ ثم احسب tan .
🔍 اضغط لرؤية الحل
إثبات قائم الزاوية:
- XZ² = 10² = 100
- XY² + YZ² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
بما أن XZ² = XY² + YZ²، فإن المثلث XYZ قائم الزاوية عند الرأس Y (المقابل للضلع الأطول XZ).
حساب tan (وهو ما لا يمكن حسابه بهذه الطريقة لأن Y هي الزاوية القائمة، والظل غير معرف للزاوية القائمة).
ملاحظة هامة: الظل معرف للزوايا الحادة فقط في المثلث القائم. ربما كان المقصود حساب tan أو tan .
لنفترض أن المطلوب هو حساب tan (لأن الزاوية Y هي القائمة):
- الضلع المقابل لـ Z هو XY = 6
- الضلع المجاور لـ Z هو YZ = 8
tan = = 68 = 34 = 0.75
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
هل يمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية عند نقطة أخرى غير A؟
لا، خاصية فيثاغورس العكسية تخبرنا بشكل قاطع أن الزاوية القائمة هي دائماً المقابلة للضلع الأطول. في حالتنا، BC هو أطول ضلع، والزاوية المقابلة له هي A.
ما هو الفرق بين الظل (tan) والجيب (sin) وجيب التمام (cos)؟
كلها نسب مثلثية تُستخدم في المثلث القائم: * الجيب (sin): نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر. * جيب التمام (cos): نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر. * الظل (tan): نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور لها.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 2 ص 122 رياضيات 4 متوسط