حل تمرين 20 صفحة 87 رياضيات 4 متوسط - إثبات خاصية تناسبية التزايدات

🎯 ما ستتعلمه

• فهم الدالة التآلفية وتمثيلها.
• إثبات خاصية تناسبية التزايدات.
• التعامل مع الرموز والمعادلات الرياضية.
• تطبيق المفاهيم الرياضية على مسائل تطبيقية.
• تنمية مهارات التحليل والاستنتاج.

هل تبحث عن شرح واضح ومفصل لحل تمرين 20 صفحة 87 في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط؟ أنت في المكان الصحيح يا بطل! سنستعرض معاً خطوات حل هذا التمرين الهام الذي يركز على خاصية تناسبية التزايدات.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتناول هذا التمرين دراسة خصائص الدالة التآلفية. الدالة التآلفية هي دالة على الصورة 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏، حيث 𝑎 و 𝑏 عددان حقيقيان معلومان. في هذا التمرين، سنعمل على إثبات أن الفرق بين صورتي قيمتين مختلفتين في المجال، مقسومًا على الفرق بين هاتين القيمتين، هو مقدار ثابت لا يتغير، وهذا ما يعرف بخاصية تناسبية التزايدات.

📝 معطيات المسألة

المعطيات الأساسية هي أن لدينا دالة تآلفية 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. المطلوب هو إثبات أن قيمة (𝑓(𝑥₁) - 𝑓(𝑥₂)) / (𝑥₁ - 𝑥₂) هي قيمة ثابتة 𝑎، وذلك لجميع القيم الحقيقية 𝑥₁ و 𝑥₂ بحيث 𝑥₁ ≠ 𝑥₂. يشمل التمرين عدة خطوات منظمة للوصول إلى هذا الإثبات.

💡 معلومة مهمة: الدالة التآلفية 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 تمثل في المستوى البياني بخط مستقيم ميله هو المعامل 𝑎 والجزء المقطوع من محور التراتيب هو 𝑏. خاصية تناسبية التزايدات هي خاصية جوهرية لهذه الدوال وتساعد في فهم سلوكها.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: برهان أن 𝑓(𝑥₁) - 𝑓(𝑥₂) = 𝑎(𝑥₁ - 𝑥₂)

نبدأ بتعويض قيم 𝑥₁ و 𝑥₂ في صيغة الدالة التآلفية. نعلم أن 𝑓(𝑥₁) = 𝑎𝑥₁ + 𝑏 وأن 𝑓(𝑥₂) = 𝑎𝑥₂ + 𝑏. بطرح هاتين المعادلتين، نجد أن الفرق بين الصورتين يساوي الفرق بين 𝑎𝑥₁ و 𝑎𝑥₂. يمكن استخراج العامل المشترك 𝑎 من هذا الفرق.

f(x₁) = ax₁ + b
f(x₂) = ax₂ + b

f(x₁) - f(x₂) = (ax₁ + b) - (ax₂ + b)
f(x₁) - f(x₂) = ax₁ + b - ax₂ - b
f(x₁) - f(x₂) = ax₁ - ax₂
f(x₁) - f(x₂) = a(x₁ - x₂)

المرحلة ²: تحليل الطرف الثاني من المساواة السابقة

الطرف الثاني الذي توصلنا إليه هو 𝑎(𝑥₁ - 𝑥₂). نريد الآن استنتاج قيمة 𝑎 من هذه المساواة. بما أننا نبحث عن قيمة 𝑎، فسنقوم بقسمة طرفي المعادلة 𝑓(𝑥₁) - 𝑓(𝑥₂) = 𝑎(𝑥₁ - 𝑥₂) على (𝑥₁ - 𝑥₂). يجب التأكد من أن المقام لا يساوي صفرًا، وهذا متحقق لأن 𝑥₁ ≠ 𝑥₂.

f(x₁) - f(x₂) = a(x₁ - x₂)
نقسم الطرفين على (x₁ - x₂) (مع العلم أن x₁ ≠ x₂):
𝑎 = 𝖿(𝗑₁) - 𝖿(𝗑₂)
───────
𝗑₁ - 𝗑₂

المرحلة ³: استنتاج أن 𝑎 = (𝑓(𝑥₂) - 𝑓(𝑥₁)) / (𝑥₂ - 𝑥₁)

يمكننا إعادة ترتيب الكسر الذي توصلنا إليه في المرحلة السابقة. ضرب البسط والمقام في العدد 1- يعطينا صيغة مكافئة. هذه الصيغة تؤكد أن النسبة بين تزايد الدالة وتزايد المتغير هي مقدار ثابت وهو ميل المستقيم الذي يمثل الدالة.

لدينا:
𝑎 = 𝖿(𝗑₁) - 𝖿(𝗑₂)
───────
𝗑₁ - 𝗑₂

نضرب البسط والمقام في (-1):
𝑎 = - (𝖿(𝗑₁) - 𝖿(𝗑₂))
──────────
- (𝗑₁ - 𝗑₂)

إذن:
𝑎 = 𝖿(𝗑₂) - 𝖿(𝗑₁)
───────
𝗑₂ - 𝗑₁

✅ النتائج النهائية:

تم إثبات أن 𝑎 = (𝑓(𝑥₁) - 𝑓(𝑥₂)) / (𝑥₁ - 𝑥₂)، وهي قيمة ثابتة تساوي ميل الدالة التآلفية.

هذه الخاصية تسمى خاصية تناسبية التزايدات.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تعتمد على التعريف الرياضي للدالة التآلفية وتطبق عليه عمليات جبرية أساسية. الانتقال من تعريف الدالة إلى استنتاج خاصية تناسبية التزايدات يتم بسلاسة ومنطقية، مما يجعل الفهم أسهل. كما أن استخدام ترميز واضح يساعد على تتبع الخطوات الرياضية بدقة.

1. الوضوح: تقسيم الحل إلى مراحل محددة يجعل تتبع الخطوات أسهل.
2. الدقة: الاعتماد على التعريفات والخصائص الرياضية يضمن صحة الحل.
3. الشمولية: تغطي الخطوات جميع الجوانب المطلوبة لإثبات الخاصية.

🎮 منطقة التدريب

لتكن الدالة التآلفية 𝑔(𝑥) = 3𝑥 - 5. احسب قيمة (𝑔(4) - 𝑔(2)) / (4 - 2).

🔍 اضغط للحل

𝑔(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7
𝑔(2) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1

(𝑔(4) - 𝑔(2)) / (4 - 2) = (7 - 1) / (4 - 2) = 6 / 2 = 3

✅ الحل: القيمة المحسوبة هي 3، وهي تساوي معامل الدالة 𝑔(𝑥).

⚠️ أخطاء شائعة

• خطأ في التعويض: عدم كتابة الصيغة الصحيحة للدالة عند التعويض.
• أخطاء جبرية: أخطاء في عمليات الجمع والطرح أو الضرب والقسمة.
• الخلط بين المتغيرات والصور: الخلط بين 𝑥 و 𝑓(𝑥).
• النسيان الشرط 𝑥₁ ≠ 𝑥₂: عدم الانتباه إلى شرط عدم تساوي القيمتين عند القسمة.
• عدم فهم معنى النتيجة: عدم ربط النتيجة النهائية بخاصية تناسبية التزايدات.

نصائح ذهبية

1. فهم المعطيات: اقرأ التمرين بعناية وحدد ما هو معطى وما هو مطلوب.
2. التركيز على التعريف: ابدأ دائمًا من تعريف الدالة التآلفية.
3. الدقة في العمليات: انتبه جيدًا للحسابات الجبرية لتجنب الأخطاء.
4. التأكد من الشروط: تحقق من صحة الشروط الرياضية مثل (𝑥₁ ≠ 𝑥₂).
5. تفسير النتيجة: حاول فهم معنى النتيجة التي توصلت إليها في سياق الدرس.
6. المراجعة والممارسة: حل تمارين مشابهة لترسيخ الفهم.

❓ أسئلة شائعة

ما هي الدالة التآلفية؟

الدالة التآلفية هي دالة خطية يمكن كتابتها على الصورة 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏، حيث 𝑎 و 𝑏 هما عددان حقيقيان ثابتان. 𝑎 يمثل ميل الخط المستقيم و 𝑏 يمثل الجزء المقطوع من محور التراتيب.

ماذا تعني خاصية تناسبية التزايدات؟

تعني هذه الخاصية أن نسبة الفرق بين صورتي قيمتين مختلفتين للمتغير 𝑥 إلى الفرق بين هاتين القيمتين هي نسبة ثابتة تساوي دائمًا ميل الدالة التآلفية (المعامل 𝑎).

لماذا يعتبر الشرط 𝑥₁ ≠ 𝑥₂ مهمًا؟

لأننا نقوم بالقسمة على (𝑥₁ - 𝑥₂). إذا كان 𝑥₁ = 𝑥₂، فإن المقام سيساوي صفرًا، والقسمة على صفر غير معرفة رياضيًا. هذا الشرط يضمن أننا نتعامل مع تزايد فعلي في قيمة المتغير.

📌 تذكير: تذكر دائمًا أن الدالة التآلفية تعكس علاقة خطية بسيطة، وفهم خصائصها يساعدك كثيرًا في مواضيع رياضية متقدمة.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 20 ص 87 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال