📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 19 صفحة 87 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 20 من صفحة 87 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- برهان خاصية تناسبية التزايدات لدالة تآلفية.
- تطبيق القواعد الرياضية اللازمة في برهان رياضي.
- التعامل مع الرموز الرياضية وفهم معانيها.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
في هذا التمرين، سنقوم ببرهان مفاهيم رياضية مهمة متعلقة بالدالة التآلفية. الأمر بسيط جداً، سنستخدم المعطيات التي لدينا ونتدرج خطوة بخطوة للوصول إلى النتيجة المطلوبة. تخيل أنك محقق تتبع الأدلة للوصول إلى الحقيقة، هذا هو شعور حل المسائل الرياضية!
📝 المعطيات التي لدينا:
لدينا دالة تآلفية معرفة بالشكل: \( f(x) = ax + b \)
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: برهان أن \( f(x₁) - f(x₂) = ax₁ - ax₂ \)
يا بطل، سنبدأ بالتعويض المباشر في تعريف الدالة. لدينا \( f(x₁) = ax₁ + b \) و \( f(x₂) = ax₂ + b \). سنطرحهما من بعضهما البعض:
الآن، سنقوم بفك الأقواس والتخلص من الرموز:
نلاحظ أن \( +b \) و \( -b \) يلغيان بعضهما البعض. إذن، نحصل على:
ممتاز! لقد وصلنا للنتيجة الأولى.
الخطوة ²: تحليل الطرف الثاني من المساواة السابقة
الآن، سننظر إلى الطرف الثاني من المساواة التي توصلنا إليها، وهو \( ax₁ - ax₂ \). ماذا يمكن أن نفعل به؟ بالطبع، يمكننا استخراج العامل المشترك \( a \)!
هذه خطوة بسيطة لكنها أساسية.
الخطوة ³: استنتاج أن \( a = (x₂) - f(x₁)x₂ - x₁ \)
من الخطوتين السابقتين، أصبح لدينا مساواة مزدوجة: \( f(x₁) - f(x₂) = ax₁ - ax₂ \) و \( ax₁ - ax₂ = a(x₁ - x₂) \). هذا يعني أن:
إذا أردنا عزل \( a \)، ماذا نفعل؟ نقسم الطرفين على \( (x₁ - x₂) \)، مع الانتباه أن \( x₁ ≠ x₂ \). لكن في الصورة الموجودة، تم استخدام \( f(x₂) - f(x₁) \) في البسط، وللتوافق معها، يمكننا تغيير إشارة البسط والمقام:
هذا هو الاستنتاج المهم جداً. هذا المقدار \( (x₂) - f(x₁)x₂ - x₁ \) هو ما نسميه "نسبة التزايدات" أو "المعدل المتوسط للتغير".
الخطوة ⁴: الخاصية التي برهنا عليها
ما توصلنا إليه هو أن نسبة تزايدات الدالة التآلفية \( f(x) = ax + b \) بين أي نقطتين \( x₁ \) و \( x₂ \) (حيث \( x₁ ≠ x₂ \)) تساوي دائماً معامل الدالة \( a \). هذه هي خاصية "تناسبية التزايدات" التي يتميز بها هذا النوع من الدوال. أنت قمت ببرهانها بنجاح!
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
لقد برهنا أن الدالة التآلفية \( f(x) = ax + b \) تحقق خاصية تناسبية التزايدات، حيث أن \( a = (x₂) - f(x₁)x₂ - x₁ \) لأي \( x₁ ≠ x₂ \).
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا هذه الطريقة لأنها تتبع منطق البرهان الرياضي خطوة بخطوة. بدأنا بالتعريف، طبقنا العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة)، واستخرجنا العوامل المشتركة. كل خطوة بنيت على ما قبلها، مما جعلنا نصل إلى النتيجة بثقة ووضوح. هذا هو جمال الرياضيات!
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- أخطاء في الإشارات: عند فك الأقواس أو إجراء عمليات الطرح، كن حذراً جداً مع الإشارات.
- القسمة على صفر: تأكد دائماً من أن المقام ليس صفراً. في هذا التمرين، شرط \( x₁ ≠ x₂ \) يضمن ذلك.
- الخلط بين الرموز: لا تخلط بين \( x \) و \( f(x) \) أو بين \( x₁ \) و \( x₂ \).
💎 نصائح ذهبية لك:
- اقرأ التمرين جيداً: قبل البدء بالحل، تأكد أنك فهمت المطلوب جيداً وما هي المعطيات المتوفرة.
- كن منظماً: اكتب خطواتك بوضوح، استخدم الأقلام الملونة إذا لزم الأمر، ورتب أفكارك.
- راجع حلك: بعد الانتهاء، ارجع إلى خطواتك وتأكد من صحتها ومن عدم وجود أخطاء حسابية أو منطقية.
🎮 جرب بنفسك!
إذا كانت لدينا الدالة \( g(x) = 3x + 5 \)، احسب قيمة \( a \) باستخدام النقطتين \( x₁ = 2 \) و \( x₂ = 4 \)، ثم تحقق من أن \( g(x₁) - g(x₂) = a(x₁ - x₂) \).
🔍 اضغط لرؤية الحل
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
ما الفرق بين الدالة الخطية والدالة التآلفية؟
الدالة الخطية هي حالة خاصة من الدالة التآلفية حيث \( b = 0 \)، أي \( f(x) = ax \). الدالة التآلفية أعم وأشمل.
لماذا سميت بـ "تناسبية التزايدات"؟
لأن زيادة \( x \) بمقدار معين تؤدي إلى زيادة \( f(x) \) بمقدار يتناسب مع هذه الزيادة، وهذا المقدار هو معامل الدالة \( a \).
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 20 ص 87 رياضيات 4 متوسط