📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 21 صفحة 123 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 22 من صفحة 123 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- كيفية بناء دائرة بمعطيات محددة.
- تحديد قياس زاوية باستخدام النسب المثلثية (الجيب).
- فهم العلاقة بين طول الضلع وقياس الزاوية في المثلث القائم.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
في هذا التمرين، سنقوم بإنشاء شكل هندسي ودائرة، ثم سنحدد قياس زاوية معينة. الأهم هو أننا سنفعل ذلك "بدون استعمال المنقلة"، مما يعني أننا سنعتمد على قوانين الرياضيات والنسب المثلثية للوصول إلى النتيجة. تخيل أنك مهندس صغير تبني شكلاً دقيقاً! هيا بنا نبدأ!
📝 المعطيات التي لدينا:
1. لدينا زاوية قائمة اسمها AÔB. 2. نعتبر وحدة الطول هي السنتيمتر. 3. سنرسم دائرة مركزها النقطة O، ونصف قطرها OA = 3 سم. 4. النقطة A تقع على أحد ضلعي الزاوية. 5. الدائرة هذه تقطع الضلع الثاني للزاوية (الضلع OB) في نقطة سنسميها B. 6. نصف قطر الدائرة هو أيضاً 5 سم. (هذه معلومة إضافية مهمة سنستخدمها لاحقاً). 7. المطلوب هو إيجاد قياس الزاوية x حيث sin x = 3/5.
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: بناء الشكل الهندسي
أولاً، لنرسم الزاوية القائمة AÔB. مركز الزاوية هو النقطة O. الآن، نحدد النقطة A على أحد ضلعي الزاوية (مثلاً OA). بعدها، نرسم الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها 3 سم. هذه الدائرة تمر بالنقطة A. ثم، نمد الضلع الثاني للزاوية (OB) حتى يقطع الدائرة في نقطة نسميها B. الآن أصبح لدينا مثلث قائم في O، والنقطتان A و B تقعان على الدائرة.
الخطوة ²: استخدام النسب المثلثية
المعطى الرئيسي لدينا هو أن sin x = 3/5، حيث x تمثل قياس الزاوية المطلوبة. في الشكل الذي رسمناه، لدينا مثلث قائم الزاوية في O. الضلع OA هو الضلع المقابل للزاوية B، وطوله 3 سم. الضلع OB هو الوتر لأن الزاوية القائمة تقابله. لكن، المسألة تقول أن نصف قطر الدائرة هو 5 سم. والنقطة B تقع على الدائرة، وبالتالي فإن المسافة من O إلى B هي نصف القطر. هنا يكمن اللبس البسيط الذي سيتم توضيحه لاحقاً. لنعد إلى المعطى الأساسي: sin x = 3/5. في المثلث القائم OAB (مع الانتباه أن A و B يقعان على الدائرة)، إذا كانت الزاوية المقصودة هي B، فإن: sin B = (طول الضلع المقابل لـ B) / (طول الوتر) sin B = OA / AB ولكن المعطى هو sin x = 3/5. يبدو أن هناك معلومة إضافية في الصورة تتعلق بالمثلث OAB القائم في O، حيث لدينا sin B = OA / AB = 3/5. هذا يعني أن x في المعطى الأول هي نفسها الزاوية B. إذاً، sin B = 3/5. المطلوب هو قياس الزاوية B. هذا يقودنا إلى استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الزاوية التي جيبها يساوي 3/5. B = arcsin(3/5) B ≈ 36.87° بالتدوير إلى 36.9°.
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
قياس الزاوية x (أو B) هو حوالي 36.9 درجة.
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا هذه الطريقة لأن التمرين أعطانا قيمة جيب الزاوية (sin x = 3/5) وطلب منا إيجاد قياس الزاوية نفسها. هذه هي وظيفة الدوال المثلثية العكسية (مثل arcsin). لقد قمنا ببناء الشكل الهندسي لنتأكد من أن المعطيات متوافقة مع ما تعلمناه في المثلث القائم، وأن العلاقة بين الضلع المقابل والوتر متحققة.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين الضلع المقابل والوتر: تأكد دائماً من تحديد الضلع المقابل للزاوية والوتر في المثلث القائم.
- استخدام المنقلة: المطلوب هو إيجاد الزاوية رياضياً، وليس قياسها مباشرة بالمنقلة.
- الأخطاء في التقريب: كن دقيقاً عند تقريب النتائج حسب المطلوب (هنا تقريباً إلى 36.9°).
- التباس المعطيات: أحياناً قد تبدو المعطيات متشابهة. ارجع دائماً للنص الأساسي وللصورة لتوضيح العلاقات.
💎 نصائح ذهبية لك:
- فهم الرسم: الرسم الهندسي يساعدك على تصور المشكلة وتطبيق القوانين بشكل صحيح.
- تذكر قوانين الجيب وجيب التمام: حفظ هذه القوانين يساعدك على حل مسائل عديدة بسرعة.
- استخدام الآلة الحاسبة بذكاء: تعلم كيف تستخدم زر arcsin (أو sin⁻¹) لإيجاد قياس الزاوية.
🎮 جرب بنفسك!
إذا علمت أن في مثلث قائم الزاوية، cos y = 4/5، أوجد قياس الزاوية y بالدرجات، علماً بأن y هي زاوية حادة.
🔍 اضغط لرؤية الحل
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
لماذا أعطونا نصف القطر 5 سم في حين أن OA هو 3 سم؟
في الواقع، النص الأصلي للتمرين (والذي ظهر في الصورة) كان يوضح أن sin B = OA/AB = 3/5. هنا، OA هو الضلع المقابل للزاوية B، وAB هو الوتر. هذا يعني أن طول الوتر AB هو 5 وحدات. النقطة A تقع على الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها 3 سم. هذا يعني أن OA = 3 سم. إذا افترضنا أن الزاوية قائمة في O، فإن AB سيكون الوتر. هنا، يتضح أن المعطيات المذكورة في النص (OA=3cm) وفي الصورة (sin B = 3/5) هي التي توجهنا. إذا كان sin B = 3/5، فهذا يعني أن النسبة بين المقابل والوتر هي 3 إلى 5. طول OA هو 3 سم، وبالتالي فإن طول الوتر AB سيكون 5 سم. هنا، يبدو أن نصف القطر 5 سم المذكور كان يقصد به طول الوتر AB وليس نصف قطر الدائرة. تصميم الدائرة بنصف قطر 3 سم هو فقط لإنشاء الشكل الأولي. الأهم هو العلاقة sin B = 3/5.
هل يمكن إيجاد قياس الزاوية بدون آلة حاسبة؟
بالنسب المثلثية الشهيرة (مثل 30°، 45°، 60°)، نعم. أما بالنسبة لنسب أخرى مثل 3/5، فهذا يتطلب استخدام الآلة الحاسبة أو جداول النسب المثلثية. في الامتحانات، غالباً ما تُعطى الزوايا الشهيرة أو يُسمح باستخدام الآلة الحاسبة.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 22 ص 123 رياضيات 4 متوسط