حل تمرين 23 صفحة 89 رياضيات 4 متوسط - الجيل الثاني

🎯 ما ستتعلمه

• فهم كيفية تمثيل العلاقات الخطية بيانياً.
• تحديد نقطة التقاطع بين دالتين خطيتين وتفسير معناها.
• تحليل المواقف الاقتصادية المعتمدة على الدوال الخطية.
• حساب التكاليف بناءً على دوال خطية.
• ربط الحلول البيانية بالحلول الجبرية.

تبحث عن حل تمرين 23 صفحة 89 رياضيات 4 متوسط؟ أنت في المكان الصحيح يا بطل! هذا التمرين يتناول الدوال الخطية وتطبيقاتها العملية، وسنتعاون معاً لفهم كل تفاصيله خطوة بخطوة.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتناول هذا التمرين مسألة مقارنة بين عرضين لشراء الفطائر، حيث يعتمد كل عرض على دالة خطية. الجزء الأول يطلب إكمال جدول يعرض عدد الفطائر والثمن، مما يستلزم فهم العلاقة بينهما. الجزء الثاني يطلب التعبير عن سعر الشراء كدالة خطية لعدد الفطائر في كل عرض. الجزء الثالث يركز على التمثيل البياني لهذه الدوال، وفهم ما تعنيه نقطة تقاطعهما. أخيراً، يطلب منا تحديد العرض الأفضل في ظروف مختلفة.

📝 معطيات المسألة

يتكون التمرين من عدة أجزاء: 1. إكمال جدول يقارن بين عرضين لشراء الفطائر، مع الأخذ في الاعتبار "الثمن عند التناول في المكان" و "الثمن عند الطلب عن بعد". 2. تعريف دالتين خطيتين، P_1(x) و P_2(x)، تمثلان تكلفة شراء x فطيرة في كل عرض. 3. رسم المستقيمين الممثلين للدالتين f(x) و g(x) على نفس المعلم. 4. باستخدام الرسم البياني، تعيين الصيغة الأفضل لشراء 6 فطائر، وتحديد عدد الفطائر الذي يكون فيه العرضان متساويين أو تفاضليين.

💡 معلومة مهمة: الدالة الخطية يمكن تمثيلها بمستقيم. العلاقة بين متغيرين (مثل عدد الفطائر والسعر) تكون خطية إذا كان تغيير أحد المتغيرين يؤدي إلى تغيير ثابت في المتغير الآخر. في سياق هذا التمرين، تمثل الدوال الخطية "قوانين" حساب التكلفة بناءً على الكمية.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: إكمال الجدول وتحديد العلاقات الخطية

نلاحظ في الجزء الأول من التمرين أن الجدول يعرض علاقة بين عدد الفطائر المتناولة والثمن. في العرض الأول، يبدو أن هناك سعر ثابت لكل فطيرة. أما العرض الثاني، فيتضمن سعراً ثابتاً مضافاً إلى سعر كل فطيرة، مما يشير إلى وجود تكلفة ثابتة (مثل خدمة التوصيل أو ثمن صندوق). سنحتاج إلى استنتاج هذه العلاقات لتعبئة الجدول وتحديد الدوال.

من الجدول: - العرض الأول (تناول في المكان): P_1(x) = 400x (لأن 800 / 2 = 400، 2000 / 5 = 400، إلخ) - العرض الثاني (طلب عن بعد): P_2(x) = 350x + 500 (لأن 1200 = 350 × 2 + 500، 2250 = 350 × 5 + 500، إلخ)

المرحلة ²: تمثيل الدوال بيانياً

في هذه المرحلة، نقوم برسم المستقيمين d_1 و d_2 اللذين يمثلان الدالتين f(x) = 400x و g(x) = 350x + 500. لرسم كل مستقيم، نختار قيمتين لـ x ونحسب قيم f(x) و g(x) المقابلة لهما، ثم نرسم الخط المار بالنقطتين. الدالة f(x) = 400x تمثل مستقيماً يمر بالمبدأ (0,0). الدالة g(x) = 350x + 500 تمثل مستقيماً ميله 350 ويقطع محور التراتيب عند 500.

للدالة f(x) = 400x: - إذا كان x = 0، فإن f(0) = 0. النقطة (0, 0). - إذا كان x = 5، فإن f(5) = 400 × 5 = 2000. النقطة (5, 2000). للدالة g(x) = 350x + 500: - إذا كان x = 0، فإن g(0) = 350 × 0 + 500 = 500. النقطة (0, 500). - إذا كان x = 5، فإن g(5) = 350 × 5 + 500 = 1750 + 500 = 2250. النقطة (5, 2250). (ملاحظة: الرسم في الكتاب يستخدم وحدات مختلفة على المحورين)

المرحلة ³: إيجاد نقطة التقاطع وتفسيرها

نقطة تقاطع المستقيمين تمثل الحالة التي يكون فيها سعر شراء عدد معين من الفطائر متساوياً في كلا العرضين. لإيجاد هذه النقطة بيانياً، ننظر إلى الإحداثيات حيث يتقاطع الخطان. جبرياً، نساوي الدالتين: f(x) = g(x). الحل لهذه المعادلة يعطينا قيمة x التي عندها يتساوى السعر، وعندها نحسب السعر المقابل.

نساوي الدالتين: 400x = 350x + 500 400x - 350x = 500 50x = 500 x = 500/50 = 10 إذن، عند شراء 10 فطائر، يكون السعر متساوياً في العرضين. لإيجاد السعر: P_1(10) = 400 × 10 = 4000 P_2(10) = 350 × 10 + 500 = 3500 + 500 = 4000 نقطة التقاطع هي (10, 4000).

✅ النتائج النهائية:

الدالة الأولى (تناول في المكان): P_1(x) = 400x

الدالة الثانية (طلب عن بعد): P_2(x) = 350x + 500

نقطة التقاطع: (10, 4000)، وتعني أن شراء 10 فطائر يكلف 4000 DA في كلا العرضين.

الصيغة الأفضل لـ 6 فطائر: العرض الأول (P_1(6) = 2400) لأنه أقل من P_2(6) = 350 × 6 + 500 = 2100 + 500 = 2600. (هنا يوجد تناقض مع الرسم البياني المعطى في التمرين، حيث يبدو أن d_2 أفضل لعدد قليل من الفطائر، يجب مراجعة الرسم بدقة أو الأرقام في الجدول.)

انطلاقاً من 10 فطائر: يكون العرض الأول أفضل (أقل سعراً) لأن P_1(x) < P_2(x) عندما x > 10.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تدمج بين الفهم الجبري والتمثيل البياني، مما يعطي رؤية شاملة للمسألة. الرسم البياني يساعد على تصور العلاقة بين المتغيرات وتحديد نقاط التحول، بينما الحل الجبري يوفر الدقة ويسمح بحساب القيم بدقة. كما أن تحليل المواقف الاقتصادية مثل هذه هو تطبيق مباشر ومهم لمفاهيم الدوال الخطية التي تدرسونها، مما يجعل الرياضيات ذات قيمة عملية.

1. الفهم البصري: الرسم البياني يوضح بصرياً كيف تتغير التكاليف مع زيادة عدد الفطائر.
2. الدقة الجبرية: إيجاد نقطة التقاطع جبرياً يضمن الحصول على القيمة الدقيقة.
3. تطبيق عملي: يربط التمرين بين مفاهيم رياضية مجردة ومواقف واقعية لاتخاذ قرارات اقتصادية.

🎮 منطقة التدريب

لتكن الدالة h(x) = 100x + 200 و k(x) = 150x. أوجد قيمة x التي تتساوى عندها الدالتان، وارسم المستقيمين الممثلين لهما وحدد أيهما أفضل عندما x=5.

🔍 اضغط للحل

لإيجاد قيمة x التي تتساوى عندها الدالتان، نساوي: 100x + 200 = 150x 200 = 150x - 100x 200 = 50x x = 200/50 = 4 إذن، تتساوى الدالتان عند x=4. للرسم: h(x) = 100x + 200: عند x=0, h(0)=200. عند x=4, h(4)=100(4)+200=600. k(x) = 150x: عند x=0, k(0)=0. عند x=4, k(4)=150(4)=600. عند x=5: h(5) = 100(5) + 200 = 500 + 200 = 700 k(5) = 150(5) = 750 بما أن h(5) < k(5)، فإن الدالة h(x) هي الأفضل عند x=5.

✅ الحل: تتساوى الدالتان عند x=4. الدالة h(x) أفضل عند x=5.

⚠️ أخطاء شائعة

• تجاهل الثابت: نسيان الحد الثابت في الدالة الخطية (+500 في P_2(x))، مما يؤدي إلى استنتاج خاطئ.
• خلط المحاور: وضع المتغير المستقل (عدد الفطائر) على محور التراتيب بدلاً من محور الفواصل.
• أخطاء في الحساب: ارتكاب أخطاء حسابية عند حل المعادلات أو التعويض في الدوال.
• تفسير خاطئ لنقطة التقاطع: اعتبار نقطة التقاطع تمثل بداية العرض الأفضل بدلاً من نقطة التساوي.
• عدم قراءة الرسم بدقة: الاعتماد الكلي على الرسم دون التأكد من القيم الجبرية، خاصة عندما لا تكون الوحدات واضحة.

نصائح ذهبية

1. فهم المصطلحات: تعرف على معنى "ميل المستقيم" و "نقطة التقاطع" في سياق المسألة.
2. تحديد المتغيرات: افهم بوضوح ما يمثله المتغير x وما تمثله P_1(x) و P_2(x).
3. التحقق من الإجابات: بعد حل أي جزء، حاول التحقق من إجابتك باستخدام طريقة أخرى (بيانية أو جبرية).
4. الانتباه للوحدات: تأكد من أنك تستخدم الوحدات الصحيحة (DA في هذا التمرين) عند تفسير النتائج.
5. الربط بين الأجزاء: كل جزء في التمرين يبني على الجزء الذي سبقه، حاول رؤية الصورة الكاملة.
6. الممارسة المنتظمة: حل المزيد من التمارين على الدوال الخطية يساعد على ترسيخ الفهم.

❓ أسئلة شائعة

ماذا تمثل نقطة التقاطع بين المستقيمين بيانياً؟

نقطة التقاطع بين المستقيمين تمثل القيمة (أو القيم) للمتغير المستقل (x) التي عندها تتساوى قيم الدالتين. في هذا التمرين، تمثل عدد الفطائر الذي يكون عنده سعر الشراء متساوياً في كلا العرضين.

كيف أعرف أي عرض هو الأفضل؟

تعتمد معرفة العرض الأفضل على عدد الفطائر الذي ترغب في شرائه. إذا كان عدد الفطائر أقل من نقطة التقاطع، فإن العرض الذي يمثله المستقيم الذي يقع "أسفل" الآخر (له قيمة أقل) هو الأفضل. والعكس صحيح إذا كان عدد الفطائر أكبر من نقطة التقاطع.

هل يمكن أن تكون الدوال الخطية سلبية؟

في سياق تطبيقات عملية مثل الأسعار أو الكميات، عادة ما تكون المتغيرات (مثل x) والقيم الناتجة (مثل P(x)) غير سالبة. قد تحتوي الدالة على حد ثابت سالب، ولكن في معظم التطبيقات الاقتصادية، تكون الميل والحد الثابت بحيث تظل القيم منطقية.

📌 تذكير: فهم الدوال الخطية وتطبيقاتها أساسي في الرياضيات والعديد من المجالات العلمية والاقتصادية. استمر في التدرب والممارسة لتتقن هذا المفهوم.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 23 ص 89 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال