حل تمرين 25 صفحة 89 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم مفهوم التناسب الطردي وتطبيقه.
• حساب معامل التناسب.
• تمثيل العلاقات بدلالة الدوال.
• حساب الوقت اللازم لملء خزان بسعة معينة.
• التحويل بين الوحدات الزمنية المختلفة.

أهلاً بك في حل تمرين 25 صفحة 89 من كتاب الرياضيات للسنة الرابعة متوسط. هذا التمرين سيساعدك على فهم وتطبيق مفاهيم التناسب والعلاقات بين المتغيرات بشكل عملي. دعنا نستكشفه سوياً خطوة بخطوة.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتناول التمرين 25 مسألة تتعلق بالتناسب الطردي، حيث يقدم جدولاً للمقارنة، ويتطلب التحقق من وجود علاقة تناسبية بين القيم المعطاة. ثم ينتقل إلى تطبيق مفهوم التناسب في سياق عملي يتعلق بملء القوارير ثم خزان، ويطلب منا التعبير عن الكميات بدلالة الدوال وحساب أزمنة معينة. يتطلب الحل استخدام العمليات الحسابية الأساسية ومعرفة كيفية التعامل مع الدوال الخطية.

📝 معطيات المسألة

يحتوي التمرين على عدة أجزاء: 1. التحقق من تناسبية جدول المعطيات وإيجاد معامل التناسب. 2. حساب كمية الماء المعبأة في القوارير خلال دقيقة واحدة. 3. التعبير عن عدد اللترات المعبأة (v(t)) بدلالة الزمن (t). 4. حساب الزمن اللازم لملء خزان سعته 100 لتر.

💡 معلومة مهمة: التناسب الطردي يعني أن زيادة أحد المتغيرين تؤدي إلى زيادة متناسبة في المتغير الآخر، ويتمثل رياضياً في وجود ثابت تناسب (k) بحيث يكون y = kx. يتم حساب معامل التناسب بقسمة قيمة المتغير التابع على قيمة المتغير المستقل.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: التحقق من التناسبية وإيجاد معامل التناسب

نقوم بالتحقق من وجود علاقة تناسبية بين القيم في الجدول المعطى. للقيام بذلك، نحسب النسبة بين كل قيمتين متناظرتين (القيمة الثانية مقسومة على القيمة الأولى). إذا كانت جميع النسب متساوية، فهذا يعني أن هناك تناسبًا طرديًا، والقيمة الثابتة هي معامل التناسب.

12/1 = 12
24/2 = 12
48/4 = 12

بما أن جميع النسب متساوية وتساوي 12، فإن الجدول يمثل وضعية تناسبية.

المرحلة ²: حساب كمية الماء المعبأة في الدقيقة

يُعطى في التمرين أن 1.5 لترًا تُعبأ في 12 ثانية. ونعلم أن 1 دقيقة = 60 ثانية. لحساب كمية الماء في دقيقة واحدة، يمكننا استخدام التناسب. إذا كان x لترًا يُعبأ في 60 ثانية، فإن:

(1.5 لتر / 12 ثانية) = (x لتر / 60 ثانية)
x = (1.5 × 60) / 12 = 90 / 12 = 7.5 لتر

إذن، كمية الماء المعبأة في الدقيقة هي 7.5 لتر.

المرحلة ³: التعبير عن v(t) بدلالة t

لدينا أن 7.5 لترًا تُعبأ في 1 دقيقة (60 ثانية). نريد إيجاد العلاقة بين حجم الماء المعبأ v(t) والزمن t بالثواني. بما أنها علاقة تناسبية، فإن v(t) = k * t، حيث k هو معامل التناسب.

من المعطيات: 7.5 لتر = 60 ثانية.

معامل التناسب k = 7.5 لتر / 60 ثانية = 0.125 لتر/ثانية.

إذن، التعبير هو: v(t) = 0.125 * t

إذا أردنا التعبير بدلالة الزمن بالدقائق، فإن 7.5 لتر = 1 دقيقة. معامل التناسب k' = 7.5 لتر / 1 دقيقة = 7.5 لتر/دقيقة.

إذن، v(t) = 7.5 * t (حيث t بالدقائق).

يُظهر النص أن v(t) = 1/8 * t. لنتحقق: 1/8 = 0.125. هذا يتوافق مع وحدات اللتر لكل ثانية.

v(t) = (1/8) * t (باللتر، حيث t بالثواني)
منه: v(t) = (1.5 / 12) * t = (1/8) * t

المرحلة ⁴: حساب الزمن اللازم لملء الخزان

سعة الخزان هي 100 لتر. نريد إيجاد الزمن t الذي يجعل v(t) = 100 لتر. باستخدام العلاقة v(t) = (1/8) * t:

100 = (1/8) * t
t = 100 * 8 = 800 ثانية

لتحويل 800 ثانية إلى دقائق وثواني: 800 ثانية / 60 ثانية/دقيقة = 13 دقيقة والباقي 20 ثانية.

t = 800 ثانية = 13 دقيقة و 20 ثانية

✅ النتائج النهائية:

معامل التناسب: 12

كمية الماء المعبأة في الدقيقة: 7.5 لتر

التعبير عن v(t): v(t) = (1/8)t (باللتر، t بالثواني)

الزمن اللازم لملء الخزان (100 لتر): 800 ثانية أو 13 دقيقة و 20 ثانية.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

تعتمد هذه الطريقة على التفكير المنطقي والخطوات المنهجية التي تمكننا من تفكيك المشكلة إلى أجزاء أصغر يمكن التعامل معها بسهولة. فهم مفهوم التناسب الطردي هو المفتاح، ومن خلال تطبيقه يمكننا ربط الكميات المختلفة ببعضها البعض. الحسابات المباشرة والتحويلات بين الوحدات ضرورية لضمان دقة النتائج، وهي مهارات أساسية في الرياضيات.

1. الفهم المتدرج: نبدأ بتأكيد العلاقة الأساسية (التناسب) ثم ننتقل لتطبيقها في سياقات مختلفة.
2. الوضوح الرياضي: استخدام الدوال (v(t)) يمنح تمثيلاً دقيقاً للعلاقة بين الزمن والكمية.
3. الدقة في الحساب: التحويلات بين الثواني والدقائق أمر حاسم للحصول على إجابة نهائية مفهومة.

🎮 منطقة التدريب

إذا كانت مضخة تملأ 20 لترًا في 4 دقائق، فكم تستغرق لملء خزان سعته 150 لترًا؟

🔍 اضغط للحل

1. نحسب معدل الملء: 20 لتر / 4 دقائق = 5 لتر/دقيقة.

2. نحسب الزمن اللازم لملء 150 لتر: 150 لتر / (5 لتر/دقيقة) = 30 دقيقة.

المعدل = 20 لتر / 4 دقيقة = 5 لتر/دقيقة
الزمن = السعة / المعدل = 150 لتر / 5 لتر/دقيقة = 30 دقيقة

✅ الحل: 30 دقيقة

⚠️ أخطاء شائعة

• خطأ 1: عدم التحقق من وجود التناسب قبل تطبيقه.
• خطأ 2: ارتكاب أخطاء في الحسابات عند قسمة أو ضرب الأعداد العشرية.
• خطأ 3: نسيان التحويل بين الوحدات الزمنية (ثواني ودقائق).
• خطأ 4: عدم كتابة الوحدة الصحيحة مع النتيجة النهائية (لتر، ثانية، دقيقة).
• خطأ 5: الخلط بين المتغير المستقل (t) والمتغير التابع (v(t)).

نصائح ذهبية

1. فهم المعطيات: اقرأ المسألة جيدًا واستخرج كل المعلومات الضرورية قبل البدء بالحل.
2. تحديد المطلوب: اعرف بالضبط ما الذي يُطلب منك حسابه أو إثباته.
3. الرسم التوضيحي: في بعض المسائل، يمكن لرسم بسيط أن يساعد في تصور العلاقة بين المتغيرات.
4. التحقق من النتائج: بعد الانتهاء من الحل، راجع خطواتك وتأكد من أن النتيجة منطقية ومعقولة.
5. الربط بالحياة اليومية: حاول ربط مفاهيم التناسب بما تراه حولك، مثل سرعة السيارة أو استهلاك الماء.
6. استخدام الدوال: تعلم كيف تمثل العلاقات الرياضية باستخدام الدوال يجعل فهم المسائل أسهل وأكثر دقة.

❓ أسئلة شائعة

ما هو الفرق بين التناسب الطردي والعكسي؟

في التناسب الطردي، تزداد القيم معًا أو تنقص معًا بنفس النسبة (y = kx). أما في التناسب العكسي، فعندما تزداد قيمة أحد المتغيرين، تنقص قيمة المتغير الآخر بنفس النسبة (y = k/x).

كيف أتأكد أنني استخدمت الوحدة الصحيحة في حساباتي؟

انتبه جيدًا للوحدات المعطاة في المسألة. عند ضرب أو قسمة كميات، يجب أن تتوافق الوحدات. إذا كنت تحسب زمنًا بالثواني وتريد النتيجة بالدقائق، فاقسم على 60.

هل يمكن استخدام النسب المئوية في مسائل التناسب؟

نعم، يمكن استخدام النسب المئوية. على سبيل المثال، زيادة 10% تعني ضرب القيمة الأصلية في 1.10، وهي علاقة تناسبية.

📌 تذكير: التمارين التطبيقية هي مفتاح إتقان الرياضيات. كلما تدربت أكثر، زادت ثقتك وقدرتك على حل المسائل المعقدة.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 25 ص 89 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال