📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 25 صفحة 125 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 26 من صفحة 125 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- حساب أطوال أضلاع مثلث قائم باستعمال النسب المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل).
- حساب أطوال أضلاع مثلث قائم باستعمال نظرية فيثاغورس.
- التعامل مع القيم المقربة والأخطاء في التقريب.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
يا بطل، تمريننا اليوم يدور حول مثلث قائم الزاوية اسمه ABC، حيث الزاوية A هي القائمة. لدينا طول الوتر BC ويساوي 6 سم. كما أن قياس الزاوية B هو 18 درجة، والزاوية C هي 72 درجة. المطلوب منا هو حساب طولي الضلعين AB و AC بعدة طرق مختلفة. هيا بنا نستكشف كيف!
📝 المعطيات التي لدينا:
- مثلث ABC قائم في A.
- طول الوتر BC = 6 سم.
- قياس الزاوية B = 18°.
- قياس الزاوية C = 72°.
- جيب الزاوية (sin) = الضلع المقابل / الوتر
- جيب تمام الزاوية (cos) = الضلع المجاور / الوتر
- ظل الزاوية (tan) = الضلع المقابل / الضلع المجاور
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: رسم الشكل وإنجاز رسماً مناسباً
أول شيء نقوم به هو رسم المثلث ABC، وتحديد الزاوية القائمة في A، وقياسات الزاويتين B و C، وطول الوتر BC. هذا الرسم يساعدنا على تصور المسألة بشكل أفضل.
في الرسم، لدينا الزاوية B = 18° والزاوية C = 72°، والضلع BC = 6 سم.
الخطوة ²: حساب طول الضلع AC باستعمال الجيب (sin)
يا صديقي، في المثلث القائم ABC، يمكننا استخدام تعريف الجيب للزاوية B. الضلع المقابل للزاوية B هو AC، والوتر هو BC.
بالتعويض بالقيم التي نعرفها:
لإيجاد AC، نضرب طرفي المعادلة في 6:
باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن sin 18° ≈ 0.309.
وبالحساب:
التمرين يطلب قيمة مقربة إلى 10⁻¹ (أي رقم واحد بعد الفاصلة). إذن، بقليل من التقريب:
ممتاز! لقد حسبنا AC. أنت تقوم بعمل رائع!
الخطوة ³: حساب طول الضلع AB باستعمال جيب التمام (cos)
الآن، لحساب AB، يمكننا استخدام جيب تمام الزاوية B. الضلع المجاور للزاوية B هو AB، والوتر هو BC.
بالتعويض:
لإيجاد AB، نضرب الطرفين في 6:
باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن cos 18° ≈ 0.951.
وبالحساب:
بالتقريب إلى 10⁻¹:
أحسنت يا بطل! حسبنا AB أيضاً.
الخطوة ⁴: حساب طول الضلع AB باستعمال نظرية فيثاغورس (للتأكد)
هذه الخطوة هي للتأكد فقط، ولنرَ كيف تعمل نظرية فيثاغورس. لدينا مثلث قائم ABC، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
نعوض بالقيم التي حصلنا عليها (سنستخدم القيم المقربة هنا للتوضيح):
لإيجاد AB²، نطرح 3.61 من 36:
الآن نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
باستخدام الآلة الحاسبة:
بالتقريب إلى 10⁻¹:
نرى أن النتيجة متطابقة تقريباً مع الطريقة السابقة! هذا يؤكد صحة الحل.
الخطوة ⁵: حساب طول الضلع AB باستعمال الظل (tan)
يمكننا أيضاً استخدام الظل لحساب AB، ولكن هذه المرة باستخدام الزاوية C. الضلع المقابل للزاوية C هو AB، والضلع المجاور لها هو AC.
بالتعويض:
لإيجاد AB:
باستخدام الآلة الحاسبة، tan 72° ≈ 3.077.
بالتقريب إلى 10⁻¹:
لاحظ يا بطل أن هناك اختلافاً بسيطاً (0.1 سم) مقارنة بالطرق السابقة. هذا يحدث بسبب التقريب في القيم. لو استخدمنا القيم الدقيقة لـ AC، لكانت النتيجة أدق.
الخطوة ⁶: حساب طول الضلع AC باستعمال الظل (tan)
لدينا أيضاً طريقة أخرى لحساب AC، باستعمال الزاوية B والضلع AB الذي حسبناه.
بالتعويض:
لإيجاد AC:
باستخدام الآلة الحاسبة، tan 18° ≈ 0.325.
بالتقريب إلى 10⁻¹:
رائع! تلاحظ أن كل الطرق تعطي نتائج قريبة جداً، وهذا دليل على أنك تسير في الطريق الصحيح!
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
بعد استخدام الطرق المختلفة، نجد أن:
- AC ≈ 1.9 سم
- AB ≈ 5.7 سم
(مع الأخذ في الاعتبار أن هذه القيم مقربة).
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا النسب المثلثية (sin, cos, tan) لأنها تربط بين زوايا المثلث القائم وأطوال أضلاعه. هذه القوانين هي أساس حل المسائل الهندسية التي تتضمن المثلثات القائمة. أما نظرية فيثاغورس، فقد استخدمناها للتأكيد على صحة النتائج ولإظهار العلاقة بين أضلاع المثلث القائم.
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- خلط الزوايا: تأكد دائماً من أنك تستخدم الضلع المقابل الصحيح والضلع المجاور الصحيح لكل زاوية.
- التقريب المبكر: حاول أن تحتفظ بالأرقام الدقيقة قدر الإمكان في الآلة الحاسبة وقم بالتقريب في الخطوة الأخيرة لتجنب تراكم الأخطاء.
- عدم تحديد نوع المثلث: تأكد أن المثلث قائم الزاوية قبل تطبيق النسب المثلثية أو نظرية فيثاغورس.
- استخدام الآلة الحاسبة بالدرجات (Deg) وليس بالراديان (Rad).
💎 نصائح ذهبية لك:
- ارسم دائماً: الرسم الجيد هو نصف الحل، يساعدك على تصور المعطيات والمطلوب.
- اكتب القوانين: قبل أن تبدأ الحل، اكتب القوانين التي ستستخدمها (sin, cos, tan, فيثاغورس).
- تحقق من إجابتك: حاول استخدام أكثر من طريقة إذا أمكن للتأكد من أن نتيجتك صحيحة.
🎮 جرب بنفسك!
إذا علمت أن لديك مثلثاً قائماً في X، وأن طول الوتر YZ = 10 سم، وقياس الزاوية Y = 30°. احسب طولي الضلعين XY و XZ.
🔍 اضغط لرؤية الحل
- cos Y = XY / YZ => cos 30° = XY / 10 => XY = 10 * cos 30° ≈ 10 * 0.866 = 8.66 سم
- sin Y = XZ / YZ => sin 30° = XZ / 10 => XZ = 10 * sin 30° = 10 * 0.5 = 5 سم
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
لماذا نستخدم قيماً مقربة؟
في الرياضيات، بعض الأعداد مثل √2 أو π هي أعداد غير نسبية (لها عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة). لذلك، نضطر أحياناً لاستخدام قيم مقربة لتسهيل الحسابات أو عند الحاجة إلى نتيجة عملية.
هل توجد زوايا أخرى غير 18° و 72°؟
بالطبع! توجد جميع الزوايا من 0° إلى 90° في المثلث القائم. يمكنك حساب النسب المثلثية لأي زاوية باستخدام الآلة الحاسبة.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل تمرين 26 صفحة 125 من الكتاب المدرسي رياضيات رابعة متوسط