حل تمرين 26 صفحة 89 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم مفهوم معامل توجيه مستقيم.
• حساب معامل توجيه مستقيم معرف بنقطتين.
• إثبات أن ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة.
• ربط معامل توجيه المستقيم بالتمثيل البياني لدالة تآلفية.
• التعرف على معادلة مستقيم معرف بمعامل توجيهه ونقطة يمر بها.

نقدم لك شرحاً مبسطاً ومفصلاً لحل تمرين 26 صفحة 89 من كتاب الرياضيات للسنة الرابعة متوسط، وهو تمرين أساسي لفهم خصائص المستقيمات والدوال التآلفية.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتناول هذا التمرين مسألة أساسية في الهندسة التحليلية، حيث يُطلب منا إثبات أن ثلاث نقاط معطاة تقع على استقامة واحدة. للقيام بذلك، سنحتاج إلى حساب معامل توجيه المستقيمات التي تربط بين هذه النقاط. إن فهم كيفية حساب معامل التوجيه هو مفتاح الحل، حيث أن تساوي معاملات التوجيه لنقاط مختلفة يشير إلى وقوعها على نفس الخط المستقيم. سنتعمق في هذه الخطوات لإتقان المفهوم.

📝 معطيات المسألة

تُعطى ثلاث نقاط: A(11, -17)، B(0, 5)، و C(-8, 21). المطلوب هو البرهان على أن هذه النقاط تقع على استقامة واحدة، ومن ثم إيجاد معادلة الدالة التآلفية f التي تمثل بيانيا المستقيم المار بهذه النقاط.

💡 معلومة مهمة: تذكر أن ميل المستقيم (معامل توجيهه) هو التغير في الإحداثي y مقسوماً على التغير في الإحداثي x بين أي نقطتين مختلفتين تقعان على هذا المستقيم. إذا كان ميل المستقيم AB يساوي ميل المستقيم BC، فإن النقاط A، B، و C تقع على استقامة واحدة.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: حساب معامل توجيه المستقيم (AB)

نبدأ بحساب معامل توجيه المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(11, -17) و B(0, 5). نستخدم صيغة معامل التوجيه: a = _A - y_Bx_A - x_B. بتعويض إحداثيات النقطتين، نجد قيمة معامل التوجيه.

a = -17 - 511 - 0 = -2211 = -2

المرحلة ²: حساب معامل توجيه المستقيم (BC)

ننتقل الآن لحساب معامل توجيه المستقيم المار بالنقطتين B(0, 5) و C(-8, 21). نطبق نفس الصيغة: a = _B - y_Cx_B - x_C. بالتعويض، نحصل على قيمة معامل التوجيه للمستقيم BC.

a = 5 - 210 - (-8) = -168 = -2

المرحلة ³: إثبات الاستقامة وتحديد الدالة التآلفية

بما أن معامل توجيه المستقيم AB يساوي معامل توجيه المستقيم BC (كلاهما يساوي -2)، فإن النقاط A، B، و C تقع على استقامة واحدة. الآن، نحدد الدالة التآلفية f(x) = ax + b. لقد وجدنا أن a = -2. نستخدم إحدى النقاط (مثل B(0, 5)) لإيجاد قيمة b. نعوض في f(x) = -2x + b بالنقطة B: 5 = -2(0) + b، ومنه b = 5. إذن، الدالة التآلفية هي f(x) = -2x + 5.

a = -2 (من حساب (AB) و (BC)) f(x) = ax + b 5 = -2(0) + b ← b = 5 f(x) = -2x + 5

✅ النتائج النهائية:

النقاط A، B، و C تقع على استقامة واحدة.

معادلة الدالة التآلفية هي: f(x) = -2x + 5.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

تعتبر هذه الطريقة فعالة لأنها تعتمد على مفهوم رياضي مثبت: تساوي معاملات توجيه المستقيمات المتوازية أو المتطابقة. إذا كان لمستقيمين نفس معامل التوجيه، فهما متوازيان. وفي سياق ثلاث نقاط، إذا كان ميل AB يساوي ميل BC، فهذا يعني أن المستقيم AB هو نفسه المستقيم BC، وبالتالي فإن النقاط الثلاث تقع على نفس الخط. كما أن إيجاد معادلة الدالة التآلفية يصبح مباشراً بعد تحديد معامل التوجيه (الميل) واستخدام إحدى النقاط لإيجاد نقطة التقاطع مع محور y.

1. مفهوم معامل التوجيه: يربط بشكل مباشر بين الإحداثيات البيانية للنقاط والميل الهندسي للمستقيم.
2. تطبيق قاعدة تساوي الميل: يسمح بالتحقق من الاستقامة أو التوازي بطريقة رياضية دقيقة.
3. التكامل مع الدوال التآلفية: يربط بين الهندسة التحليلية والجبر، مما يعطي فهماً أعمق للعلاقة بين تمثيل النقاط والتمثيل البياني للدوال.

🎮 منطقة التدريب

هل يمكن للنقطة D(3, -1) أن تنتمي إلى نفس المستقيم؟ برر إجابتك.

🔍 اضغط للحل

لحساب معامل توجيه المستقيم (BD) باستخدام النقطة B(0, 5) والنقطة D(3, -1):

a_BD = 5 - (-1)0 - 3 = 5 + 1-3 = 6-3 = -2

بما أن معامل توجيه (BD) يساوي -2، وهو نفس معامل توجيه المستقيم (AB) و (BC)، فإن النقطة D تقع على نفس المستقيم.

✅ الحل: نعم، النقطة D(3, -1) تنتمي إلى نفس المستقيم لأن معامل توجيه المستقيم (BD) يساوي -2.

⚠️ أخطاء شائعة

• الخطأ في الإشارة: نسيان أو عكس الإشارات عند طرح الإحداثيات.
• عكس البسط والمقام: وضع فرق الإحداثيات y في المقام وفرق الإحداثيات x في البسط.
• الخلط بين النقاط: استخدام إحداثيات نقطة في البسط مع إحداثيات نقطة أخرى في المقام.
• عدم التبسيط: ترك الكسور في صورة غير مبسطة مما قد يؤدي لأخطاء لاحقة.
• خطأ في حساب b: التعويض الخاطئ أو الخطأ في حل المعادلة لإيجاد b.

نصائح ذهبية

1. التنظيم: اكتب إحداثيات كل نقطة بوضوح (x, y) لتجنب الخلط.
2. التحقق من الإشارات: راجع دائماً عملية الطرح للتأكد من صحة الإشارات، خاصة مع الأعداد السالبة.
3. المقارنة المنطقية: قبل حساب ميل (BC)، تأكد أنك بدأت بنفس النقطة (مثلاً B) وقارنتها بالنقطة الأخرى (C).
4. التحقق من النتيجة: بعد إيجاد معادلة الدالة f(x) = ax + b، عوض بإحداثيات النقاط الأخرى (A و C) للتأكد من أنها تحقق المعادلة.
5. الاستخدام الآمن للآلة الحاسبة: إذا كنت تستخدم آلة حاسبة، استخدم الأقواس بشكل صحيح عند إدخال العمليات الحسابية المعقدة.
6. فهم المعنى الهندسي: معامل التوجيه السالب يعني أن المستقيم يتجه نحو الأسفل كلما اتجهنا يميناً.

❓ أسئلة شائعة

ماذا لو كانت نقاط مختلفة تعطي معاملات توجيه مختلفة؟

إذا كانت معاملات التوجيه مختلفة، فهذا يعني أن النقاط لا تقع على استقامة واحدة. كل زوج من النقاط سيشكل مستقيماً مختلفاً أو متوازياً. في هذه الحالة، لا يمكن إيجاد دالة تآلفية واحدة تمثل جميع هذه النقاط.

كيف يمكنني التحقق من أن النقطة D تقع على المستقيم دون حساب معامل التوجيه؟

بعد إيجاد معادلة الدالة التآلفية f(x) = ax + b، يمكنك ببساطة تعويض الإحداثي السيني للنقطة D في الدالة، فإذا كان الناتج يساوي الإحداثي الصادي للنقطة D، فإنها تنتمي للمستقيم.

هل معامل التوجيه هو نفسه ميل المستقيم؟

نعم، في الهندسة التحليلية، معامل التوجيه هو نفسه ميل المستقيم. وهو يمثل مقدار الارتفاع (التغير في y) لكل وحدة تغير في الطول (التغير في x) على طول المستقيم.

📌 تذكير: إتقان حساب معامل التوجيه والتحقق من الاستقامة هو أساس لفهم الكثير من المفاهيم المتقدمة في الرياضيات، لذا اجتهد في فهم هذه الخطوات جيداً.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل التمرين 26 صفحة 89 الدالة التآلفية رياضيات رابعة متوسط الجيل الثاني

تعديل المقال