حل تمرين 29 صفحة 75 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم كيفية تبسيط التعابير الجبرية.
• تطبيق قاعدة الجداء المزدوج (a+b)(a-b) = a² - b².
• إيجاد علاقة بين سعر جديد وسعر قديم مع نسبة تغير.
• التعامل مع النسب المئوية في سياقات رياضية.
• تبسيط المعادلات التي تتضمن كسوراً.

تبحث عن حل تمرين 29 صفحة 75 رياضيات 4 متوسط؟ أنت في المكان الصحيح يا بطل! سنبسط لك عملية إيجاد السعر الجديد بدلالة السعر الأصلي ونسبة التغير.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتعلق هذا التمرين بمسألة اقتصادية مبسطة حول تغير الأسعار. لدينا سعر أصلي (نرمز له بالرمز x) ويتعرض لنسبة تغير معينة (نرمز لها بالرمز t%). يطلب منا في هذا الجزء التعبير عن السعر الجديد (نرمز له بالرمز y) بدلالة السعر الأصلي x ونسبة التغير t. تتطلب هذه العملية فهم كيفية تطبيق النسب المئوية وتحويلها إلى صيغة رياضية قابلة للحساب.

📝 معطيات المسألة

المعطيات تشير إلى أن السعر الجديد y ينتج عن سعر أصلي x تم تطبيق نسبة تغير عليه. الصيغة المعطاة أولاً هي: y = (1 + t/100)(1 - t/100)x. هذه الصيغة تعبر عن سيناريو يتم فيه زيادة السعر الأصلي بنسبة t% ثم خفضه مرة أخرى بنفس النسبة، أو العكس. نريد تبسيط هذه الصيغة.

💡 معلومة مهمة: عند التعامل مع نسب مئوية، نتذكر أن نسبة t% تعني t مقسومة على 100 (t/100). عندما نقول زيادة بنسبة t%، فإننا نضرب في (1 + t/100). وعندما نقول تخفيض بنسبة t%، فإننا نضرب في (1 - t/100).

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: تبسيط الجزء الأول من الصيغة

سنبدأ بتبسيط الجزء الموجود بين القوسين في المعادلة الأولى. نلاحظ أن لدينا صيغة على شكل (a + b)(a - b) حيث a = 1 و b = t/100. هذه الصيغة تعرف بقاعدة الجداء المزدوج أو متطابقة شهيرة في الجبر، والتي تساوي a² - b².

(1 + 100)(1 - 100) = 1² - (100)²

المرحلة ²: تطبيق قاعدة الجداء المزدوج

بتطبيق القاعدة التي ذكرناها في المرحلة الأولى، نعوض بقيم a و b. لدينا 1² = 1. ولدينا (100)² = ²100². إذن، يصبح الجزء المبسّط من المعادلة:

1² - (100)² = 1 - ²100²

المرحلة ³: كتابة الصيغة النهائية للسعر الجديد

الآن، نعود إلى المعادلة الأصلية ونعوض بالجزء الذي بسطناه. نضرب الناتج في x. تصبح لدينا صيغة السعر الجديد y بدلالة x و t بالشكل التالي:

y = (1 - ²100²)x

✅ النتائج النهائية:

الصيغة المبسّطة للسعر الجديد y بدلالة السعر الأصلي x ونسبة التغير t هي: y = (1 - t²/100²)x

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تستخدم مبادئ رياضية أساسية لتبسيط تعبير معقد إلى صيغة أبسط وأكثر سهولة في الفهم والاستخدام. بدلًا من التعامل مع قوسين مضروبين، نحصل على صيغة تحتوي على عملية طرح واحدة ورفع للقوة.

1. التبسيط الجبري: استخدام المتطابقات الشهيرة (مثل (a+b)(a-b)) يوفر وقتاً وجهداً كبيراً في الحسابات.
2. الوضوح: الصيغة النهائية توضح مباشرة تأثير نسبة التغير المزدوجة (زيادة ثم خفض أو العكس) على السعر الأصلي.
3. القابلية للتطبيق: الصيغة المبسّطة تجعل من السهل حساب السعر الجديد لأي نسبة تغير t معينة.

🎮 منطقة التدريب

إذا كان السعر الأصلي لسلعة ما هو 200 دينار، وتم خفض سعرها بنسبة 10% ثم زيادته بنفس النسبة، فما هو سعرها النهائي؟ استخدم الصيغة المبسّطة.

🔍 اضغط للحل

هنا، x = 200 و t = 10. نستخدم الصيغة: y = (1 - ²100²)x y = (1 - 10²100²) × 200 y = (1 - 100/10000) × 200 y = (1 - 0.01) × 200 y = 0.99 × 200 y = 198

✅ الحل: السعر النهائي هو 198 دينار.

⚠️ أخطاء شائعة

• الخلط بين الزيادة والنقصان: عدم الانتباه لإشارة الزائد أو الناقص في الصيغة.
• أخطاء في التربيع: نسيان تربيع البسط والمقام في الحد (100)².
• إهمال x: نسيان ضرب النتيجة النهائية في السعر الأصلي x.
• حساب النسبة المئوية بشكل خاطئ: عدم تحويل النسبة المئوية إلى كسر عشري صحيح (t/100).
• عدم تطبيق المتطابقة: محاولة فك الأقواس بطريقة توزيعية طويلة بدلاً من استخدام المتطابقة.

نصائح ذهبية

1. فهم المتطابقات: احفظ المتطابقات الشهيرة في الجبر، فهي توفر عليك الكثير من الوقت والجهد.
2. التأكد من الوحدات: تأكد من أن الوحدات متناسقة، خاصة عند التعامل مع النسب المئوية.
3. التحقق من النتائج: بعد الحصول على النتيجة، حاول تقديرها منطقياً للتأكد من أنها معقولة.
4. التدرج في الحل: لا تتعجل، قسم المسألة إلى خطوات صغيرة واعمل على حل كل خطوة على حدة.
5. الممارسة المستمرة: حل المزيد من التمارين المشابهة لترسيخ الفهم وتطوير المهارات.
6. التركيز على الرموز: فهم معنى كل رمز (x، y، t) وعلاقته بالسياق.

❓ أسئلة شائعة

هل السعر الجديد سيكون دائماً أقل من السعر الأصلي في هذه الحالة؟

نعم، في الصيغة y = (1 - ²100²)x، بما أن t² دائماً موجب (لأن مربع أي عدد حقيقي هو موجب)، فإن ²100² سيكون موجباً أيضاً. وبالتالي، فإن (1 - ²100²) سيكون دائماً أقل من 1 (طالما أن t ليست صفراً). عندما تضرب عدداً في كسر أقل من 1، فإن الناتج يكون أقل من العدد الأصلي.

ماذا لو زاد السعر بنسبة t% ثم زاد مرة أخرى بنفس النسبة؟

في هذه الحالة، ستكون الصيغة مختلفة. السعر الجديد سيكون y = (1 + 100)(1 + 100)x = (1 + 100)² x. سيكون الناتج بالتأكيد أكبر من السعر الأصلي.

كيف يمكن تفسير نتيجة التمرين؟

التمرين يوضح أنه عندما يتم زيادة سعر بنسبة معينة ثم خفضه بنفس النسبة، فإن السعر النهائي يكون أقل من السعر الأصلي. هذا يعود إلى أن نسبة الخفض (t%) تُطبق على سعر أصبح مرتفعاً بالفعل، مما يجعل قيمة الخفض الفعلية (بالوحدات النقدية) أكبر من قيمة الزيادة الأولية.

📌 تذكير: تذكر دائماً أن استخدام المتطابقات الرياضية ليس فقط لتوفير الوقت، بل هو جزء أساسي من إتقانك للرياضيات، ويساعد على فهم بنية المعادلات بشكل أعمق.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 29 ص 75 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال