حل تمرين 3 صفحة 88 رياضيات 4 متوسط - الجيل الثاني

🎯 ما ستتعلمه

• تمثيل الدوال الخطية على المعلم المتعامد المتجانس.
• إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين.
• تفسير نقطة تقاطع المستقيمين في سياق المسألة.
• مقارنة بين صيغتين لثمن شراء.
• تحديد الصيغة الأفضل حسب الكمية المطلوبة.

أهلاً بك يا بطل الرياضيات! اليوم سنغوص في حل التمرين 3 صفحة 88، تمرين رائع يجمع بين الدوال الخطية والتمثيل البياني، ويساعدك على فهم كيفية اتخاذ القرار بناءً على معطيات رياضية.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتناول هذا التمرين رسم مستقيمين يمثلان دالتين خطيتين، مع إعطاء صيغتي هاتين الدالتين. المطلوب هو فهم العلاقة بين هاتين الدالتين من خلال تمثيلهما البياني، واستخلاص معلومات هامة تتعلق بنقطة التقاطع وتفسيرها. كما يتضمن جزءاً يتعلق بمقارنة بين صيغتين مختلفتين لثمن شراء، مما يستدعي استخدام المتراجحات أو تحليل التمثيلات البيانية لتحديد الأفضل. الهدف هو ربط المفاهيم النظرية بالتطبيقات العملية.

📝 معطيات المسألة

المسألة تعرض لنا دالتين خطيتين: f(x) = 400x g(x) = 350x + 500 المطلوب رسم المستقيمين الممثلين لهاتين الدالتين (d_1) و (d_2) على نفس المعلم المتعامد المتجانس. كما توجد أسئلة إضافية تتطلب تحليل هذه التمثيلات واستخدامها لحل مسائل أخرى تتعلق بالشراء والمقارنة بين الأسعار.

💡 معلومة مهمة: لتمثيل دالة خطية من الشكل y = ax أو y = ax + b، يكفي تعيين نقطتين. أسهل نقطتين هما نقطة الأصل (0,0) (في حالة y=ax) والنقطة التي نحصل عليها بتعويض قيمة بسيطة لـ x.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: رسم المستقيمين (d_1) و (d_2)

لرسم الدالة الخطية f(x) = 400x (المستقيم (d_1))، نختار قيمتين لـ x ونحسب f(x) المقابلة: - عندما x=0، فإن f(0) = 400 × 0 = 0. النقطة الأولى هي (0,0). - عندما x=5، فإن f(5) = 400 × 5 = 2000. النقطة الثانية هي (5, 2000). لرسم الدالة الخطية g(x) = 350x + 500 (المستقيم (d_2))، نختار قيمتين لـ x ونحسب g(x) المقابلة: - عندما x=0، فإن g(0) = 350 × 0 + 500 = 500. النقطة الأولى هي (0, 500). - عندما x=10، فإن g(10) = 350 × 10 + 500 = 3500 + 500 = 4000. النقطة الثانية هي (10, 4000). بعد ذلك، نرسم المستقيمين اللذين يمران بهاتين النقطتين لكل دالة على نفس المعلم المتعامد المتجانس.

f(x) = 400x ← (0,0), (5, 2000) g(x) = 350x + 500 ← (0, 500), (10, 4000)

المرحلة ²: إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين

نقطة تقاطع المستقيمين (d_1) و (d_2) هي النقطة التي تتساوى عندها قيمتا الدالتين f(x) و g(x). لحساب إحداثياتها، نحل المعادلة f(x) = g(x): 400x = 350x + 500 نطرح 350x من الطرفين: 400x - 350x = 500 50x = 500 نقسم الطرفين على 50: x = 500/50 = 10 الآن نحسب قيمة y (التي تمثل f(x) أو g(x) عند هذه القيمة لـ x) بتعويض x=10 في أي من الدالتين: f(10) = 400 × 10 = 4000 g(10) = 350 × 10 + 500 = 3500 + 500 = 4000 إذن، نقطة تقاطع المستقيمين هي (10, 4000).

400x = 350x + 500 ← 50x = 500 ← x = 10 y = f(10) = g(10) = 4000 نقطة التقاطع هي (10, 4000).

المرحلة ³: تفسير نقطة التقاطع وتحديد الصيغة الأفضل

من الرسم البياني، نلاحظ أن المستقيم (d_1) يقع فوق المستقيم (d_2) قبل نقطة التقاطع (10, 4000)، ويقع تحته بعدها. في سياق المسألة، تمثل f(x) ثمن شراء 6 فواطر (أو عدد معين من القوارير)، و g(x) ثمن شراء 10 فواطر (أو عدد آخر). عند x=10، يكون الثمن متساوياً وهو 4000 DA. بالنسبة لشراء 6 فواطر، الصيغة الأفضل هي f(x)=400x لأنها تعطي ثمناً أقل (400 × 6 = 2400 DA). بالنسبة لشراء 10 فواطر، يكون الثمن متساوياً 4000 DA. عند شراء أكثر من 10 فواطر، الصيغة g(x)=350x+500 تصبح أفضل لأن المستقيم (d_2) يصبح أسفل (d_1). الجزء الثاني من التمرين يربط هذا بمقارنة الثمن عند شراء 10 قوارير. من الجدول، الثمن عند التناول في المكان هو DA 4800 والقيمة من P_2 = 350x + 500 عند x=10 هي 4000. والقيمة من P_1 = 400x عند x=10 هي 4000. عند شراء 10 قوارير، الثمن هو 4000 DA باستخدام أي من الصيغتين.

عند x < 10: f(x) < g(x) (الصيغة f(x)=400x أفضل) عند x = 10: f(x) = g(x) = 4000 (الثمن متساوٍ) عند x > 10: f(x) > g(x) (الصيغة g(x)=350x+500 أفضل)

✅ النتائج النهائية:

نقطة تقاطع المستقيمين (d_1) و (d_2) هي (10, 4000).

الصيغة الأفضل لشراء 6 فواطر هي f(x)=400x.

عند شراء 10 قوارير، الثمن متساوٍ باستخدام الصيغتين وهو 4000 DA.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تربط بين التمثيل البياني للدوال الخطية والواقع العملي. فهم كيفية تقاطع المستقيمين يساعد في اتخاذ قرارات اقتصادية سليمة. عندما نمثل الدالتين بيانياً، يمكننا رؤية متى تكون إحدى الخدمتين أو المنتجين أفضل من الآخر. هذه المقارنة البصرية، مدعومة بالحسابات الجبرية، توفر فهماً عميقاً للعلاقة بين المتغيرات وتساعد على تحديد النقطة المثلى لاتخاذ القرار.

1. التمثيل البياني: يمنح رؤية واضحة للعلاقات بين الدالتين.
2. الحساب الجبري: يحدد بدقة نقطة التقاطع والحلول.
3. التفسير: يربط النتائج الرياضية بالسياق العملي للمسألة.

🎮 منطقة التدريب

لتكن لدينا الدالتان h(t) = 20t و k(t) = 15t + 100. 1. مثل الدالتين h(t) و k(t) على نفس المعلم المتعامد المتجانس. 2. أوجد قيمة t التي يتساوى عندها h(t) و k(t). 3. فسر النقطة التي يتقاطع فيها المستقيمان.

🔍 اضغط للحل

1. التمثيل البياني: h(t) = 20t ← (0,0), (5,100) k(t) = 15t + 100 ← (0,100), (10,250) 2. إيجاد قيمة t التي يتساوى عندها h(t) و k(t): 20t = 15t + 100 5t = 100 t = 20 3. تفسير النقطة: عند t=20، h(20) = 20 × 20 = 400 و k(20) = 15 × 20 + 100 = 300 + 100 = 400. نقطة التقاطع هي (20, 400). هذا يعني أن عند مرور 20 ساعة (أو وحدة زمنية أخرى)، تتساوى الكميتان المقاسان بالدالتين. قبل t=20، الدالة h(t) أقل، وبعد t=20، الدالة k(t) أقل.

✅ الحل: عند t=20 تتساوى قيمتا الدالتين.

⚠️ أخطاء شائعة

• خطأ في حساب الإحداثيات: عدم حساب النقطتين الصحيحتين لكل دالة.
• خلط بين الدالتين: تعيين نقاط دالة على مستقيم دالة أخرى.
• خطأ في حل المعادلة: ارتكاب أخطاء جبرية عند إيجاد نقطة التقاطع.
• تفسير خاطئ: عدم ربط نقطة التقاطع بالسياق العملي للمسألة.
• الاعتماد على الرسم فقط: إهمال التحقق بالحسابات الجبرية.

نصائح ذهبية

1. حدد النقاط بدقة: احسب دائماً نقطتين لكل دالة خطية، مع التأكد من صحة العمليات الحسابية.
2. استخدم مسطرة: عند رسم المستقيمات، استخدم المسطرة لرسم خطوط مستقيمة ودقيقة.
3. وضح المحاور: ضع أسماء للمحاور (x و y أو t و f(t))، وحدد القيم على كل محور بوضوح.
4. لون المستقيمات: استخدم ألواناً مختلفة لتمييز المستقيمين، مما يسهل القراءة.
5. اكتب المعادلات بجانب المستقيمات: هذا يساعد على التعرف على كل مستقيم بسهولة.
6. تحقق من نقطة التقاطع: بعد إيجادها جبرياً، تأكد من أنها تقع بالفعل على المستقيمين في الرسم.

❓ أسئلة شائعة

ماذا تمثل نقطة تقاطع المستقيمين في سياق شراء؟

تمثل نقطة التقاطع القيمة (الكمية أو السعر) التي تتساوى عندها تكلفة الشراء أو الخدمة بين الصيغتين المختلفتين. قبل هذه النقطة، تكون إحدى الصيغ أرخص، وبعدها تصبح الصيغة الأخرى هي الأرخص.

هل يمكن رسم دالة خطية بنقطة واحدة؟

لا، دالة خطية تحتاج إلى نقطتين لتعريفها ورسمها. النقطة الأولى غالباً ما تكون نقطة الأصل (0,0) للدوال الخطية التي تمر بها، ولكن نحتاج نقطة ثانية لتحديد ميل الخط بدقة.

كيف أفسر المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل؟

المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل (0,0) يمثل دالة خطية من الشكل y = ax. هذا يعني أن القيمة الابتدائية (عند x=0) تساوي صفر، وأن التكلفة أو الكمية تتناسب طردياً مع المتغير x (الميل).

📌 تذكير: تحليل الدوال الخطية ورسمها البياني هو أداة قوية لاتخاذ القرارات في مواقف الحياة اليومية، سواء كانت متعلقة بالشراء، المقارنات، أو حتى فهم العلاقات الفيزيائية.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل التمرين رقم 20 ص 38 الرياضيات. السنة 4 متوسط

تعديل المقال