📚 اقرأ أيضاً
حل تمرين 29 صفحة 125 رياضيات 4 متوسطأهلاً بك يا بطل! 👋 اليوم سنحل معاً تمرين 30 من صفحة 125 في الرياضيات. لا تقلق، سأشرح لك كل خطوة بوضوح حتى تفهمها تماماً وتستطيع حل تمارين مشابهة بنفسك! ثق بنفسك، فأنت قادر على تحقيق الكثير!
🎯 في هذا الدرس ستتعلم:
- كيفية تطبيق خاصية فيثاغورس لتبرير مساواة.
- كيفية استنتاج قيم النسب المثلثية لزاوية شهيرة (45 درجة).
- الربط بين حساب الأطوال والنسب المثلثية في المثلثات القائمة.
© edrasa.ezpy.org
📖 أولاً: لنفهم معاً ما المطلوب
التمرين 30 يطلب منا أمرين أساسيين. أولاً، سنقوم بتبرير صحة مساواة معينة باستخدام نظرية فيثاغورس. تخيل أن لدينا مثلث قائم الزاوية، ونريد التأكد من أن العلاقة بين أضلاعه صحيحة. ثانياً، سنستنتج قيم دالة الجيب (sin)، ودالة جيب التمام (cos)، ودالة الظل (tan) للزاوية 45 درجة، وذلك بالاعتماد على المعطيات التي سنحصل عليها من الجزء الأول.
📝 المعطيات التي لدينا:
لدينا مثلث قائم الزاوية في النقطة B. طول الضلع AB يساوي 1، وطول الضلع BC يساوي 1. المطلوب هو تبرير أن طول الوتر AC يساوي √2.
✏️ ثانياً: الحل خطوة بخطوة
الخطوة ¹: تطبيق خاصية فيثاغورس
يا بطل، بما أن المثلث ABC قائم في B، فهذا يعني أننا نستطيع تطبيق نظرية فيثاغورس. سنقوم بحساب AC² باستخدام أطوال الضلعين AB و BC.
الآن، نعوض بالقيم المعطاة: AB = 1 و BC = 1.
نقوم بحساب المربعات:
إذن:
الخطوة ²: استنتاج طول الوتر AC
ممتاز! لقد وجدنا أن AC² = 2. الآن، لاستنتاج طول AC، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين. تذكر يا صديقي أن الطول دائماً موجب!
وهكذا، لقد قمنا بتبرير صحة المساواة AC = √2 بنجاح! أنت رائع!
الخطوة ³: استنتاج قيم النسب المثلثية للزاوية 45 درجة
الآن، المطلوب الثاني هو استنتاج قيم 45^ و 45^ و 45^. بما أن لدينا مثلثاً قائم الزاوية في B، وأطوال أضلاعه معروفة، يمكننا استخدام تعريفات النسب المثلثية. تذكر يا بطل:
- الزاوية = الضلع المجاورالوتر
- الزاوية = الضلع المقابلالوتر
- الزاوية = الضلع المقابلالضلع المجاور
في مثلثنا ABC القائم في B، وباعتبار الزاوية A هي 45 درجة، فإن الضلع المجاور لها هو AB، والضلع المقابل هو BC، والوتر هو AC.
لنبدأ بحساب 45^:
لتبسيط الكسر، يمكننا ضرب البسط والمقام في √2:
والآن، لنحسب 45^:
وبتبسيط الكسر بنفس الطريقة:
ملاحظة جميلة يا بطل! لقد وجدت أن 45^ = 45^، وهذا منطقي في مثلث متساوي الساقين وقائم!
أخيراً، لنحسب 45^:
وهذا يعني:
✅ إذن الإجابة النهائية هي:
لقد أثبتنا أن AC = √2، واستنتجنا القيم التالية:
- 45^ = √22
- 45^ = √22
- 45^ = 1
🤔 لماذا استخدمنا هذه الطريقة؟
استخدمنا نظرية فيثاغورس لأنها العلاقة الأساسية التي تربط بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي الأداة المثالية لتبرير صحة المساواة المطلوبة. أما بالنسبة للنسب المثلثية، فقد استخدمنا تعريفاتها الأساسية (مقابل على وتر، مجاور على وتر، مقابل على مجاور) لأنها ببساطة هي الطريقة التي نحصل بها على قيم الجيب وجيب التمام والظل في أي مثلث قائم الزاوية. كل شيء واضح ومنطقي!
⚠️ انتبه لهذه الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين الأضلاع: تأكد دائماً من تحديد الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر بشكل صحيح بالنسبة للزاوية التي تتعامل معها.
- نسيان الوتر: عند حساب الجيب وجيب التمام، تذكر أن المقام دائماً هو طول الوتر.
- أخطاء حسابية بسيطة: كن حذراً عند إجراء العمليات الحسابية، خصوصاً عند التعامل مع الجذور التربيعية.
💎 نصائح ذهبية لك:
- ارسم دائماً: رسم المثلث وتسمية أضلاعه وزواياه يساعدك كثيراً على تصور المسألة وتجنب الأخطاء.
- راجع القواعد: احفظ جيداً تعريفات النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس، فهما مفتاح الحل.
- تدرّب على التبسيط: تعلم كيف تبسط الكسور التي تحتوي على جذور تربيعية، فهذا يجعل إجاباتك أكثر أناقة ودقة.
🎮 جرب بنفسك!
إذا علمت أن لدينا مثلثاً قائم الزاوية في B، طول الضلع AB هو 3 سم، وطول الضلع BC هو 4 سم، احسب طول الوتر AC، ثم احسب قيم A و A و A. أنت قادر على ذلك!
🔍 اضغط لرؤية الحل
❓ أسئلة قد تدور في ذهنك:
لماذا تساوي 45^ و 45^؟
في المثلث القائم الذي فيه زاوية 45 درجة، تكون الزاوية الأخرى أيضاً 45 درجة (لأن مجموع زوايا المثلث 180 درجة). هذا يعني أن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان، أي أن المثلث متساوي الساقين. في هذه الحالة، الضلع المجاور والضلع المقابل للزاوية 45 درجة متساويان، وعند قسمتهما على الوتر، نحصل على نفس القيمة.
هل يمكن استخدام هذه الطريقة دائماً لاستنتاج قيم النسب المثلثية؟
نعم، يمكنك استخدام هذه الطريقة لاستنتاج النسب المثلثية لأي زاوية في مثلث قائم الزاوية، بشرط أن تكون أطوال أضلاعه معروفة أو يمكن حسابها.
🎥 شاهد الفيديو التعليمي
🎥 حل التمرين رقم 30 صفحة 125 الرياضيات سنة رابعة متوسط