حل تمرين 30 صفحة 75 رياضيات 4 متوسط - الجيل الثاني

🎯 ما ستتعلمه

• تحديد طبيعة الدالة الخطية.
• حساب معامل الدالة الخطية (a).
• كتابة صيغة الدالة الخطية.
• تمثيل الدالة الخطية بيانيا.
• فهم العلاقة بين التمثيل البياني للدالة والمعادلة.

هل واجهت صعوبة في حل التمرين 30 صفحة 75 في مادة الرياضيات للسنة الرابعة متوسط؟ لا تقلق، فأنت في المكان المناسب! سنقوم بشرح الحل بالتفصيل خطوة بخطوة، لضمان فهمك التام للموضوع.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتمحور التمرين حول مفهوم الدوال الخطية، وهو أحد المفاهيم الأساسية في برنامج الرياضيات للسنة الرابعة متوسط. المعطيات المتوفرة تدور حول شرط يتعلق بقيم الدالة عند نقطتين مختلفتين، وتهدف إلى استنتاج خصائص هذه الدالة، وبالتحديد معاملها وصيغتها، بالإضافة إلى تمثيلها البياني. يتطلب حل هذا التمرين تطبيق قواعد الجبر الأساسية وفهم هندسة الدوال الخطية.

📝 معطيات المسألة

المطلوب في هذا التمرين هو تعيين الدالة الخطية f التي تحقق الشرط التالي: f(x+√2) - f(x-√2) = 4. ثم حساب معامل الدالة الخطية f. وأخيراً، تمثيل الدالة بيانيا.

💡 معلومة مهمة: الدالة الخطية هي دالة على الصورة f(x) = ax حيث a هو المعامل. تمثيلها البياني هو دائمًا خط مستقيم يمر بمبدأ المعلم (النقطة (0،0)).

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: فهم طبيعة الدالة والشروط المعطاة

الدالة f هي دالة خطية، مما يعني أن صيغتها هي f(x) = ax حيث a ثابت يجب حسابه. الشرط المعطى هو f(x+√2) - f(x-√2) = 4. هذا الشرط يربط بين قيم الدالة عند مدخلين متمايزين. سنستخدم تعريف الدالة الخطية لتعويض قيم f في هذا الشرط.

f(x) = ax

المرحلة ²: حساب المعامل a

بتعويض تعريف الدالة الخطية في الشرط المعطى، نحصل على: a(x+√2) - a(x-√2) = 4. نقوم بتبسيط هذه المعادلة. بتوزيع a نحصل على ax + a√2 - (ax - a√2) = 4. بعدها، نفتح الأقواس مع تغيير الإشارات، فنحصل على ax + a√2 - ax + a√2 = 4. بتجميع الحدود المتشابهة، نجد أن 2a√2 = 4. ومنه، يمكننا استنتاج قيمة a.

a(x+√2) - a(x-√2) = 4
ax + a√2 - ax + a√2 = 4
2a√2 = 4

المرحلة ³: إيجاد قيمة a واستنتاج صيغة الدالة

من المعادلة 2a√2 = 4، نقسم الطرفين على 2√2 للحصول على a. إذن، a = 42√2. يمكن تبسيط هذا الكسر بضرب البسط والمقام في √2 للتخلص من الجذر في المقام، أو ببساطة قسمة 4 على 2 لنحصل على 2√2. بتبسيط 2√2، نجد أنها تساوي √2. إذن، معامل الدالة الخطية هو a = √2. وبالتالي، صيغة الدالة الخطية f هي f(x) = √2x.

a = 42√2 = 2√2 = √2
f(x) = √2x

✅ النتائج النهائية:

معامل الدالة الخطية a هو √2.

صيغة الدالة الخطية هي f(x) = √2x.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

تعتمد هذه الطريقة على فهم التعريف الأساسي للدالة الخطية وتطبيق خصائصها بشكل منهجي. الفعالية تكمن في تحويل الشرط المعطى، والذي قد يبدو معقدا في البداية، إلى معادلة جبرية بسيطة يمكن حلها بسهولة. هذه الخطوات تضمن الوصول إلى الحل الصحيح والدقيق.

1. التجريد: البدء بتعريف الدالة الخطية f(x)=ax يضع الأساس للحل.
2. التعويض والتبسيط: استخدام الشرط المعطى لإنشاء معادلة في a فقط.
3. حل المعادلة: عزل a وتحديد قيمته العددية.
4. التحقق: التأكد من أن الحل يلبي جميع شروط التمرين.

🎮 منطقة التدريب

إذا كانت لديك دالة خطية g تحقق g(x+1) - g(x-1) = 6. أوجد معامل الدالة g وصيغتها.

🔍 اضغط للحل

نفترض أن g(x) = bx.

إذن، g(x+1) - g(x-1) = b(x+1) - b(x-1) = 6.

نبسط: bx + b - (bx - b) = 6.

bx + b - bx + b = 6.

2b = 6.

b = 3.

g(x) = 3x

✅ الحل: معامل الدالة g هو 3 وصيغتها g(x) = 3x.

⚠️ أخطاء شائعة

• الخلط بين الدالة الخطية والدالة التآلفية: الدالة الخطية تمر بالمبدأ، بينما الدالة التآلفية لها معادلة f(x)=ax+b.
• أخطاء في تبسيط الجذور: مثل عدم تبسيط 2√2 بشكل صحيح.
• أخطاء حسابية بسيطة: في جمع أو طرح الحدود المتشابهة.
• النسيان: نسيان أن الدالة الخطية يجب أن تمر بالمبدأ عند التمثيل البياني.
• التعامل مع x: الاعتقاد بأن قيمة x تؤثر على قيمة المعامل a.

نصائح ذهبية

1. فهم التعريف: تأكد من فهمك العميق لتعريف الدالة الخطية f(x)=ax وأنها خط مستقيم يمر بأصل المعلم.
2. التمثيل البياني: عند تمثيل الدالة، يكفي تحديد نقطتين. النقطة الأولى هي دائماً (0،0)، والنقطة الثانية يمكن حسابها بسهولة، مثلاً عند x=1، f(1)=a.
3. تبسيط الكسور: دائماً حاول تبسيط الكسور والتعابير قدر الإمكان، خاصة تلك التي تحتوي على جذور.
4. المراجعة المنتظمة: راجع دروس الدوال الخطية والدوال التآلفية بشكل دوري لترسيخ المفاهيم.
5. حل تمارين متنوعة: لا تكتفِ بنوع واحد من التمارين، بل حاول حل مسائل مختلفة تتناول هذه الدوال.
6. الاستعانة بالرسم: الرسم البياني يمكن أن يساعد في فهم العلاقة بين المتغيرات ومعامل الدالة.

❓ أسئلة شائعة

ما هي الدالة الخطية؟

الدالة الخطية هي دالة رياضية على الصورة f(x) = ax، حيث a هو عدد حقيقي يسمى المعامل. تتميز بأن تمثيلها البياني هو خط مستقيم يمر دائماً بنقطة الأصل (0،0) في المستوى الإحداثي.

كيف يمكن التحقق من تمثيل دالة خطية بيانيا؟

للتحقق من تمثيل دالة خطية بيانيا، يكفي اختيار قيمتين لـ x، حساب قيم f(x) المقابلة، ثم رسم النقطتين الناتجتين. يجب أن يمر الخط المستقيم الذي يصل بين هاتين النقطتين بنقطة الأصل (0،0).

هل يمكن أن يكون معامل الدالة الخطية كسرا؟

نعم، يمكن أن يكون معامل الدالة الخطية أي عدد حقيقي، بما في ذلك الكسور والأعداد غير النسبية مثل √2 في هذا التمرين. التبسيط المستمر للكسور يساعد في تقديمها بأبسط صورة ممكنة.

📌 تذكير: تذكر دائماً أن مفتاح حل مسائل الدوال الخطية يكمن في فهم العلاقة بين الصيغة الجبرية والتمثيل البياني، والقدرة على الانتقال بينهما بسهولة.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 30 ص 75 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال