حل تمرين 32 صفحة 75 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم كيفية تبسيط الدوال التي تحتوي على جذور.
• تطبيق قواعد النشر والتبسيط على التعبيرات الرياضية.
• التعرف على مفهوم الدالة الخطية.
• استنتاج طبيعة الدالة (خطية أم لا) بناءً على صيغتها.
• تنمية مهارات التحليل الرياضي والاستنتاج.

تبحث عن حل تمرين 32 صفحة 75 رياضيات 4 متوسط؟ أنت في المكان الصحيح يا بطل! هذا التمرين يتطلب منك بعض التركيز في التعامل مع الجذور والتعبيرات الجبرية لتبسيط الدالة وتحديد طبيعتها. دعنا نحللها خطوة بخطوة.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يبدأ التمرين بتعريف دالة g(x) بصيغة تتضمن جذوراً وتعبيرات مربعة. الهدف الأساسي هو تبسيط هذه الصيغة إلى أبسط شكل ممكن، ثم استخدام هذا الشكل الجديد لتحديد ما إذا كانت الدالة g(x) دالة خطية أم لا. الدالة الخطية هي دالة يمكن كتابتها على الصورة ax + b حيث a و b ثوابت. سنحتاج إلى تطبيق قواعد الجبر والنشر بعناية فائقة للوصول إلى الحل الصحيح.

📝 معطيات المسألة

لتكن الدالة g(x) معرفة بـ: g(x) = x√8(1/2-√2x) + 8 - 16(2-√2)². المطلوب هو تبسيط هذه الدالة والتحقق مما إذا كانت خطية أم لا.

💡 معلومة مهمة: تذكر أن √a² = |a|، وأن (√a)² = a لأي a 0. كذلك، نشر مربع مجموع أو فرق (a b)² = a² 2ab + b² يعتبر أداة أساسية في تبسيط التعبيرات. سنحتاج أيضاً لتبسيط √8 = √4 × 2 = 2√2.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: تبسيط الجزء الأول من الدالة

سنبدأ بتبسيط الحد الأول في تعريف الدالة: x√8(1/2-√2x). أولاً، نستبدل √8 بـ 2√2. ثم نقوم بالنشر.

x√8(1/2-√2x) = x(2√2)(1/2-√2x) = x(2√2 × 1/2) - x(2√2 × √2x) = x√2 - x(2√2 × 2x) = x√2 - x(2√4x) = x√2 - x(2 × 2√x) = x√2 - 4x√x

المرحلة ²: تبسيط الجزء الثاني من الدالة

ننتقل الآن لتبسيط الحد الثاني الذي يتضمن مربع فرق: 16(2-√2)². نستخدم صيغة مربع الفرق (a-b)² = a² - 2ab + b² حيث a = 2 و b = √2.

16(2-√2)² = 16 [ (2)² - 2(2)(√2) + (√2)² ] = 16 [ ²4 - x√2 + 2 ] = 16 × ²4 - 16 × x√2 + 16 × 2 = 4x² - 16x√2 + 32

المرحلة ³: تجميع الأجزاء وتبسيط الدالة النهائية

الآن نجمع النتائج التي حصلنا عليها في المرحلتين السابقتين ونعيد كتابة الدالة g(x) مع الحد الثابت 8.

g(x) = (x√2 - 4x√x) + 8 - (4x² - 16x√2 + 32) g(x) = x√2 - 4x√x + 8 - 4x² + 16x√2 - 32 نجمع الحدود المتشابهة (نجمع الحدود التي تحتوي على x√2 والحدود الثابتة): g(x) = (x√2 + 16x√2) - 4x√x - 4x² + (8 - 32) g(x) = 17x√2 - 4x√x - 4x² - 24

✅ النتائج النهائية:

الصيغة المبسطة للدالة g(x) هي: g(x) = -4x² - 4x√x + 17√2x - 24.

الدالة g(x) ليست دالة خطية لأنها تحتوي على حد x² وحد x√x.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تتبع منهجية منظمة لتبسيط التعبيرات الرياضية المعقدة. بتقسيم الدالة إلى أجزاء أصغر، يمكننا التعامل مع كل جزء على حدة باستخدام القواعد المناسبة. هذا يقلل من احتمالية الخطأ ويجعل العملية أكثر وضوحاً. البدء بتبسيط الجذور والأسس، ثم تطبيق النشر، وأخيراً تجميع الحدود المتشابهة، يضمن الوصول إلى أبسط صيغة للدالة.

1. التقسيم: تقسيم المسألة إلى خطوات صغيرة يجعلها أقل تعقيداً وأسهل في الإدارة.
2. التطبيق المنهجي للقواعد: استخدام قواعد الجبر والنشر والتطبيق المنتظم لقواعد الجذور يضمن الدقة.
3. التركيز على الحدود: التعامل مع كل حد من حدود التعبير بشكل منفصل يقلل من فرص النسيان أو الخطأ.
4. التجميع النهائي: جمع الحدود المتشابهة في النهاية يعطي الصيغة المبسطة والنهائية للدالة.

🎮 منطقة التدريب

لنتدرب على تبسيط دالة أخرى: بسّط الدالة f(x) = (√x - 3)² + 2x.

🔍 اضغط للحل

f(x) = (√x - 3)² + 2x = ((√x)² - 2(√x)(3) + 3²) + 2x = (x - 6√x + 9) + 2x = x - 6√x + 9 + 2x = 3x - 6√x + 9

✅ الحل: f(x) = 3x - 6√x + 9.

⚠️ أخطاء شائعة

• خطأ في النشر: نسيان الحد الأوسط عند نشر مربع فرق أو مجموع.
• خطأ في التعامل مع الجذور: الخلط بين √a² و a أو عدم تبسيط √8 بشكل صحيح.
• أخطاء الإشارة: عكس الإشارات عند إزالة الأقواس، خاصة بعد علامة الطرح.
• عدم تجميع الحدود المتشابهة: ترك الحدود المتشابهة غير مجمعة في الصيغة النهائية.
• الاستنتاج الخاطئ لطبيعة الدالة: اعتبار الدالة خطية رغم وجود حدود من الدرجة الثانية أو جذور.

نصائح ذهبية

1. ابدأ بالتبسيط: قبل البدء بالنشر، بسّط أي جذور أو أرقام ممكنة (مثل √8).
2. اكتب كل خطوة: لا تستعجل، اكتب كل خطوة من خطوات التبسيط والتوزيع لتقليل الأخطاء.
3. تحقق من الإشارات: انتبه جيداً للإشارات، خاصة عند التعامل مع الأقواس المسبوقة بعلامة ناقص.
4. عرّف المتغيرات: عند استخدام صيغ مثل (a-b)²، حدد بوضوح ما يمثل a وما يمثل b.
5. راجع تعريف الدالة الخطية: تذكر أن الدالة الخطية تكون دائماً من الدرجة الأولى (مثل ax+b).
6. استخدم الألوان: يمكن استخدام الألوان لتمييز أنواع مختلفة من الحدود (مثل الحدود التي تحتوي على x، الحدود الثابتة، الحدود التي تحتوي على جذور) للمساعدة في التجميع.

❓ أسئلة شائعة

ما هو الشرط لكي تكون الدالة خطية؟

لكي تكون الدالة خطية، يجب أن تكون قابلة للتعبير عنها بالصيغة g(x) = ax + b، حيث a و b عددان حقيقيان ثابتان. هذا يعني أن المتغير x لا يمكن أن يظهر مرفوعاً لقوة أعلى من 1، ولا يمكن أن يظهر داخل جذر، ولا يمكن أن يكون في مقام كسر.

كيف يمكن تبسيط التعبير (2-√2)²؟

نستخدم صيغة مربع فرق (a-b)² = a² - 2ab + b². هنا، a = 2 و b = √2. بالتطبيق: (2)² - 2(2)(√2) + (√2)² = ²4 - x√2 + 2.

لماذا تعتبر الدالة g(x) الناتجة ليست خطية؟

الدالة g(x) التي بسطناها هي g(x) = -4x² - 4x√x + 17√2x - 24. تحتوي هذه الصيغة على حد x² (وهو حد من الدرجة الثانية) وحد x√x (وهو حد غير كثير حدود). وجود هذه الحدود يعني أن الدالة ليست خطية.

📌 تذكير: الدقة في تطبيق قواعد الجبر والنشر عند تبسيط الدوال هي مفتاح النجاح. لا تتردد في مراجعة هذه القواعد والتدرب عليها بشكل مستمر.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 32 ص 75 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال