حل تمرين 7 صفحة 86 رياضيات 4 متوسط

🎯 ما ستتعلمه

• فهم طبيعة التمثيل البياني للدالة التآلفية.
• تحديد عدد النقاط الضرورية لرسم تمثيل بياني لدالة.
• تعيين إحداثيات نقاط على التمثيل البياني.
• حساب قيم الدالة عند نقاط معينة.
• رسم التمثيل البياني لدالة تآلفية على معلم متعامد ومتجانس.

أهلاً بك يا بطل الرياضيات! اليوم سنتعمق في حل التمرين 7 من الصفحة 86، وهو تمرين هام جداً لفهم الدوال التآلفية وتمثيلها البياني. تابع معنا خطوة بخطوة لتتقن هذه المفاهيم.

© edrasa.ezpy.org

تحليل معطيات التمرين

يتعلق هذا التمرين بالدالة التآلفية h(x) = 3x - 5. سنستكشف طبيعة تمثيلها البياني، وعدد النقاط اللازمة لرسمه، وكيفية تعيين إحداثيات هذه النقاط. ثم سنقوم بحساب قيم للدالة عند فواصل محددة، وأخيراً سنرسم هذا التمثيل البياني على معلم متعامد ومتجانس، مع الأخذ في الاعتبار مقياس الرسم. إن فهم كيفية الربط بين الصيغة الجبرية للدالة ورسمها البياني هو مفتاح النجاح في هذا النوع من التمارين.

📝 معطيات المسألة

الدالة المعطاة هي h(x) = 3x - 5. المطلوب هو: أ) تحديد طبيعة التمثيل البياني لهذه الدالة. ب) تحديد عدد النقاط الضرورية لإنشاء تمثيلها البياني. ج) تعيين إحداثيات ثلاث نقاط فواصلها محصورة بين العددين -3 و 3. د) إنشاء التمثيل البياني لهذه الدالة بأخذ 1 سم كوحدة على المحورين.

💡 معلومة مهمة: التمثيل البياني للدالة التآلفية f(x) = ax + b هو دائمًا مستقيم. لا نحتاج سوى إلى نقطتين لتحديد هذا المستقيم ورسمه، ولكن استخدام ثلاث نقاط أو أكثر يساعد في التحقق من صحة الرسم والتأكد من أن جميع النقاط تقع على استقامة واحدة.

الحل خطوة بخطوة

المرحلة ¹: تحديد طبيعة التمثيل البياني وعدد النقاط اللازمة

الدالة h(x) = 3x - 5 هي دالة تآلفية على الصورة h(x) = ax + b حيث a=3 و b=-5. بما أن a ≠ 0، فإن تمثيلها البياني هو مستقيم. لرسم أي مستقيم، نحتاج إلى نقطتين مختلفتين على الأقل. كلما زاد عدد النقاط التي نحسبها، زادت دقة الرسم وثقتنا في صحته.

التمثيل البياني هو مستقيم. عدد النقاط الضرورية هو 2.

المرحلة ²: تعيين إحداثيات ثلاث نقاط

لتعيين النقاط، سنختار ثلاث قيم للفواصل x محصورة بين -3 و 3، ونحسب قيم h(x) المقابلة لها. لنختر الفواصل: x = -2, x = 1, x = 3. عند x = -2: h(-2) = 3(-2) - 5 = -6 - 5 = -11. إذن النقطة الأولى هي A(-2; -11). عند x = 1: h(1) = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2. إذن النقطة الثانية هي O(1; -2). عند x = 3: h(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4. إذن النقطة الثالثة هي E(3; 4).

x = -2 ← h(-2) = 3(-2) - 5 = -11 ← A(-2; -11) x = 1 ← h(1) = 3(1) - 5 = -2 ← O(1; -2) x = 3 ← h(3) = 3(3) - 5 = 4 ← E(3; 4)

المرحلة ³: إنشاء التمثيل البياني

لإنشاء التمثيل البياني، نرسم معلماً متعامداً ومتجانساً. نأخذ 1 سم كوحدة على المحورين. ثم نعين النقاط التي حسبناها: A(-2; -11), O(1; -2), و E(3; 4). بعد ذلك، نرسم مستقيماً يمر بهذه النقاط. نلاحظ أن هذه النقاط تقع على استقامة واحدة، مما يؤكد صحة حساباتنا ورسمنا.

(يتم رسم المستقيم على ورقة الرسم البياني بناءً على النقاط المعينة)

✅ النتائج النهائية:

طبيعة التمثيل البياني: مستقيم.

عدد النقاط الضرورية: 2.

إحداثيات النقاط: A(-2; -11), O(1; -2), E(3; 4) (وقد تم استخدام نقاط أخرى في الحل الأصلي مثل B(-1;-8), C(0;-5)).

التمثيل البياني: مستقيم يمر بالنقاط المحسوبة.

لماذا هذه الطريقة فعالة؟

هذه الطريقة فعالة لأنها تتبع منهجية منطقية ومنظمة لتمثيل الدوال. تبدأ بفهم طبيعة الدالة، ثم تحديد المعلومات الأساسية اللازمة للرسم، وحساب النقاط بدقة، وأخيراً بناء التمثيل البياني. هذه الخطوات تضمن فهماً شاملاً للعلاقة بين الصيغة الجبرية للدالة وتفسيرها الهندسي، مما يساعد على بناء أساس قوي في فهم الدوال وتطبيقاتها.

1. الفهم المنهجي: تقسيم المشكلة إلى خطوات صغيرة يجعلها أسهل في الفهم والمعالجة.
2. التحقق المتبادل: حساب عدة نقاط يساعد في التحقق من دقة الحسابات وصحة الرسم.
3. التطبيق العملي: رسم التمثيل البياني يربط المفاهيم النظرية بالتطبيق العملي، مما يعزز الاستيعاب.

🎮 منطقة التدريب

لتكن الدالة g(x) = -2x + 1. 1. ما هي طبيعة تمثيلها البياني؟ 2. احسب إحداثيات نقطتين من تمثيلها البياني، بحيث تكون فاصلة إحداهما سالبة والأخرى موجبة.

🔍 اضغط للحل

1. الدالة g(x) = -2x + 1 هي دالة تآلفية، وتمثيلها البياني هو مستقيم.

2. لنحسب نقطتين:

عند x = -1: g(-1) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3. النقطة هي (-1; 3). عند x = 2: g(2) = -2(2) + 1 = -4 + 1 = -3. النقطة هي (2; -3).

✅ الحل: تمثيل بياني هو مستقيم، ونقطتان هما (-1; 3) و (2; -3).

⚠️ أخطاء شائعة

• خلط أنواع الدوال: اعتبار أن كل الدوال تمثيلها البياني مستقيم.
• اختيار فواصل غير مناسبة: اختيار فواصل تؤدي إلى حسابات معقدة أو قيم كبيرة جداً.
• أخطاء في الحساب: أخطاء بسيطة في العمليات الحسابية عند التعويض بقيم x.
• عدم الالتزام بمقياس الرسم: رسم المعلم دون مراعاة الوحدة المحددة (مثلاً 1 سم).
• عدم تمرير المستقيم عبر النقاط: الخطأ في رسم المستقيم بحيث لا يمر بالنقاط المحسوبة بدقة.

نصائح ذهبية

1. ابدأ دائماً بتحديد طبيعة الدالة: هل هي خطية، تآلفية، تربيعية؟ هذا يحدد شكل التمثيل البياني.
2. اختر فواصل سهلة: اختر قيماً لـ x مثل 0، 1، -1، 2، -2، لأنها عادة ما تؤدي إلى حسابات أبسط.
3. استخدم ثلاث نقاط على الأقل: اثنتان لرسم المستقيم، والثالثة للتحقق من دقة الرسم.
4. انتبه جيداً للإشارات: عند التعامل مع الأعداد السالبة، كن حذراً جداً لتجنب الأخطاء.
5. راجع مقياس الرسم: تأكد من أنك تستخدم نفس المقياس على كلا المحورين عند رسم المعلم.
6. ارسم بخط واضح: استخدم قلماً أو مسطرة لرسم المستقيم بوضوح بعد تحديد النقاط.

❓ أسئلة شائعة

ما الفرق بين الدالة الخطية والدالة التآلفية؟

الدالة الخطية هي حالة خاصة من الدالة التآلفية حيث يكون الحد الثابت b يساوي صفراً. أي أن f(x) = ax. تمثيلها البياني يمر دائماً بنقطة الأصل (0;0). أما الدالة التآلفية h(x) = ax + b (حيث b قد تكون أو لا تكون صفراً) فإن تمثيلها البياني هو مستقيم قد لا يمر بنقطة الأصل.

هل يجب دائماً أن نختار نفس النقاط لحساب قيم الدالة؟

لا، يمكنك اختيار أي قيم للفواصل x التي تخدم غرضك. لكن يفضل اختيار قيم بسيطة تسهل الحساب وتغطي نطاقاً معقولاً من الرسم البياني. اختيار نقطة الأصل (عندما x=0) غالباً ما يكون مفيداً.

كيف أتصرف إذا كانت القيم المحسوبة كبيرة جداً بحيث يصعب رسمها؟

في هذه الحالة، قد تحتاج إلى تعديل مقياس الرسم على محاورك. على سبيل المثال، بدلاً من 1 سم لكل وحدة، يمكنك أخذ 1 سم لكل 2 وحدة أو 5 وحدات، حسب حجم القيم. الأهم هو أن يكون المقياس متناسقاً على كلا المحورين.

📌 تذكير: تذكر دائماً أن التمثيل البياني للدالة التآلفية هو مستقيم. استخدم نقطتين لرسمه، وثلاث نقاط للتحقق. التركيز على دقة الحسابات والتطبيق الصحيح لمقياس الرسم سيضمن لك الحصول على نتيجة ممتازة.

🎥 شاهد الفيديو التعليمي الشامل

لفهم أعمق، شاهد هذا الفيديو التعليمي:

🎥 حل تمرين 7 ص 86 رياضيات 4 متوسط

تعديل المقال